Προβλήματα Μαθηματικών

Μαΐου 6, 2008

Κυρτά πολύγωνα

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με επιπλέον ερωτήματα — Mihalis Kolountzakis @ 12:56 πμ


Ένα κυρτό πολύγωνο περιέχεται σ’ ένα άλλο πολύγωνο. Δείξτε ότι η περίμετρος του μέσα πολυγώνου είναι μικρότερη ή ίση από αυτή του απ’ έξω.

(Αυτό φυσικά δεν ισχύει χωρίς την υπόθεση της κυρτότητας του μέσα πολυγώνου.)

Advertisements

7 Σχόλια »

  1. Ας θεωρήσουμε ένα εσωτερικό σημείο Ε του κυρτού πολυγώνου και ας τραβήξουμε ευθείες γραμμές από το σημείο αυτό στις κορυφές. Κάθε τέτοια ευθεία γραμμή θα τέμνει το έξω πολύγωνο σε ένα τουλάχιστον σημείο. Διαλέγουμε το πιο κοντινό στο Ε από αυτά τα σημεία και παρατηρούμε ότι το σημείο αυτό θα είναι είτε η αντίστοιχη κορυφή του πολυγώνου είτε έξω από το πολύγωνο. Σε κάθε περίπτωση αυτά είναι σημεία που ανήκουν στο εξωτερικό πολύγωνο και με αυτόν τον τρόπο χωρίζουμε το εξωτερικό πολύγωνο σε τόσες τεθλασμένες γραμμές όσες οι πλευρές του μέσα πολυγώνου. Η περίμετρος του έξω πολυγώνου θα είναι το άθροισμα των επιμέρους μηκών των τεθλασμένων γραμμών. Όμως ανάμεσα σε δύο διαδοχικά σημεία η καμπύλη ελαχίστου μήκους είναι η ευθεία και όταν μάλιστα αυτά ανήκουν σε διαδοχικές ευθείες που διέρχονται από το Ε, η ελάχιστη ευθεία που μπορεί να τα ενώνει είναι ακριβώς αυτή που αντιστοιχεί στην πλευρά του εσωτερικού πολυγώνου. Επομένως το μήκος κάθε τεθλασμένης είναι τουλάχιστον το μήκος της αντίστοιχης πλευράς του πολυγώνου, και άρα παίρνοντας αθροίσματα έχουμε την αντίστοιχη ανισότητα για τις περιμέτρους.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από ikonst — Μαΐου 13, 2008 @ 3:10 πμ

  2. Όχι.

    Μπορεί κάλλιστα σε μια από τις γωνίες μέσα στις οποίες δουλεύεις το μέσα πολύγωνο να έχει μεγαλύτερο μήκος από το έξω.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Μαΐου 13, 2008 @ 9:16 πμ

  3. Σωστά, παρατήρησα κι εγώ ότι είναι εντελώς λάθος αυτό που είπα.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από ikonst — Μαΐου 14, 2008 @ 7:44 μμ

  4. Θα δοκιμάσω μια κάπως διαφορετική προσέγγιση. Καταρχήν το εξωτερικό πολύγωνο, αν δεν είναι ήδη κυρτό, αντιστοιχεί σε ένα κυρτό πολύγωνο που είναι το σύνορο της τομής όλων των κυρτών σωμάτων που περιέχουν το πολύγωνο. Θα προσπαθήσω να περιγράψω πως φτιάχνεται αυτό το πολύγωνο και γιατί έχει το πολύ την ίδια περίμετρο με το αρχικό εξωτερικό πολύγωνο. Μου είναι λίγο δύσκολο να το κάνω χωρίς σχήματα, οπότε ζητάω κατανόηση αν η περιγραφή μου είναι πολύ μπερδεμένη. Εν γένει, διαλέγεις ένα ζευγάρι κορυφών. Όλες οι υπόλοιπες κορυφές χωρίζονται σε αυτές που είναι ανάμεσα στις δύο επιλεγμένες(δηλαδή ανήκουν στην τεθλασμένη γραμμή που ενώνει τις δύο επιλεγμένες) είτε είναι εκτός. Αν το πολύγωνο που σχηματίζεται από τις κορυφές εκτός των δύο επιλεγμένων μαζί με τις αντίστοιχες πλευρές και το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τις δύο επιλεγμένες κορυφές, περιέχει στο εσωτερικό του την τεθλασμένη γραμμή που ένωνε αρχικά τις δύο επιλεγμένες κορυφές, αντικαθιστούμε εκείνη την τεθλασμένη γραμμή με το ευθύγραμμο τμήμα, προφανώς μειώνοντας την περίμετρο του πολυγώνου. Μόλις το έχουμε κάνει αυτό για όλα τα ζεύγη κορυφών θα έχουμε φτιάξει ένα κυρτό πολύγωνο που θα περιέχει στο εσωτερικό του το αρχικό εξωτερικό πολύγωνο και θα έχει περίμετρο το πολύ όσο η περίμετρος του αρχικού. Είναι ένα μικρό κενό το γιατί είναι κυρτό το πολύγωνο με αυτήν την κατασκευή αλλά νομίζω ότι φαίνεται εύκολα.

    Επομένως το πρόβλημα έχει αναχθεί στο εξής: αν έχεις δύο κυρτά πολύγωνα, το ένα στο εσωτερικό του άλλου, η περίμετρος του εσωτερικού πολυγώνου είναι μικρότερη ή ίση με αυτή του εξωτερικού. Αυτό φαίνεται πιο εύκολα, πχ ως εξής: για κάθε πλευρά του εσωτερικού πολυγώνου, τραβάς δύο παράλληλες ημιευθείες από τις αντίστοιχες κορυφές, κάθετες στο ευθύγραμμο τμήμα που τις ενώνει και προς τα «έξω», δηλαδή ώστε να μην τέμνουν ξανά το εσωτερικό πολύγωνο. Αυτές θα τέμνουν το εξωτερικό πολύγωνο σε δύο σημεία αντίστοιχα(αν η κάθε μία το τέμνει σε πάνω από ένα σημεία, πάρε το κοντινότερο στην αντίστοιχη κορυφή). Οπότε για κάθε πλευρά π του εσωτερικού πολυγώνου έχεις δύο σημεία στο εξωτερικό πολύγωνο α_π, β_π. Επομένως το εξωτερικό πολύγωνο χωρίζεται σε τεθλασμένες που ενώνουν το κάθε α_π με το β_π συν επιπλέον τεθλασμένες. Το μήκος της τεθλασμένης που ενώνει το α_π με το β_π είναι τουλάχιστον το ίδιο με το μήκος της αντίστοιχης πλευράς(με ισότητα πχ αν οι δύο κορυφές μαζί με τα α_π, β_π σχηματίζουν ορθογώνιο παραλληλόγραμμο και η τεθλασμένη που ενώνει τα α_π, β_π είναι ευθύγραμμο τμήμα). Επομένως αθροίζοντας τις ανισότητες για κάθε πλευρά παίρνουμε ότι η συνολική περίμετρος του εσωτερικού πολυγώνου είναι το πολύ το άθροισμα των μηκών των τεθλασμένων που ενώνουν τα α_π, β_π που με τη σειρά του είναι το πολύ η περίμετρος του εξωτερικού πολυγώνου.

    Τώρα παρατηρώ ότι στο δεύτερο μέρος της απόδειξης δε χρειάστηκε να χρησιμοποιήσω ότι το εξωτερικό πολύγωνο είναι κυρτό, αν δεν κάνω λάθος, οπότε το πρώτο μέρος της απόδειξης μάλλον δε χρειάζεται.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από ikonst — Μαΐου 16, 2008 @ 10:16 μμ

  5. Ένα κενό επίσης είναι το γιατί, αν φέρεις αυτές τις παράλληλες από κάθε πλευρά του εσωτερικού πολυγώνου, αντιστοιχούν σε ξένες μεταξύ τους τεθλασμένες γραμμες. Αυτό φαίνεται πολύ εύκολα όμως από την κυρτότητα του πολυγώνου: αν δυό «κύλινδροι» που αντιστοιχούν σε δύο διαφορετικές πλευρές τέμνονται, η γωνία ανάμεσα στα ευθύγραμμα τμήματα που αντιστοιχεί στο εξωτερικό του πολυγώνου θα είναι μικρότερη ή ίση των 180 μοιρών, κάτι που αντιφάσκει στην κυρτότητα του πολυγώνου.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από ikonst — Μαΐου 16, 2008 @ 11:01 μμ

  6. Πολύ ωραία απόδειξη.

    Είχα μιαν άλλη υπόψιν: πάρε μια πλευρά του εσωτερικού πολυγώνου Α θεώρησε την ευθεία L που αυτή ορίζει. Το Α θα περιέχεται στο ένα από τα δύο ημιεπίπεδα που ορίζει η L. Αντικατάστησε το εξωτερικό πολύγωνο Β από το Β’ που είναι η τομή του Β με το ημιεπίπεδο που περιέχει το Α. Η περίμετρος του Β’ δεν είναι μεγαλύτερη από του Β. Κάνοντας την πράξη αυτή τόσες φορές όσες και οι πλευρές του Α έχουμε ταυτίσει το Β με το Α, χωρίς να αυξήσουμε το μήκος.

    Μάλλον όμως προτιμώ τη δικιά σου απόδειξη.

    Μπορείτε να δείξετε το ίδιο για κυρτά πολύτοπα στο χώρο τριών διαστάσεων (το εμβαδό του εσωτερικού είναι μικρότερο του εξωτερικού);

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Μαΐου 17, 2008 @ 1:38 πμ

  7. Παρεμπιπτόντως, το αποτέλεσμα στο 2-διάστατο πρόβλημα είναι πόρισμα του θεωρήματος Cauchy-Crofton στην Ολοκληρωτική Γεωμετρία:

    Έστω \gamma μια καμπύλη με μήκος. Θέτουμε

    \ell(\gamma)=το μήκος της \gamma.
    n_\gamma(\theta,t)=πόσες φορές η \gamma κόβει την ευθεία η οποία είναι σε απόσταση t από την αρχή των αξόνων και είναι κάθετη στην κατεύθυνση \theta, 0 \le \theta \le 2\pi (η ποσότητα αυτή μπορεί φυσικά να είναι άπειρη για κάποιες ευθείες).

    Τότε

    \displaystyle\ell(\gamma)=\frac12\int_0^{2\pi}\int_0^\infty n_\gamma(\theta,t)\,dtd\theta.

    Χρησιμοποιώντας το θεώρημα αυτό άμεσα μπορεί κανείς να δείξει ότι οποιαδήποτε κυρτή καμπύλη έχει μικρότερο μήκος από οποιαδήποτε κλειστή καμπύλη την «περιέχει»

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαΐου 17, 2008 @ 10:46 πμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: