Προβλήματα Μαθηματικών

Μαΐου 5, 2008

Ζήτημα ζωής και θανάτου

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 6:54 μμ

Έχετε (κατά λάθος) διαπράξει ένα έγκλημα και καταδικαστήκατε σε θάνατο. Ο μεγαλόψυχος δικαστής σας δίνει όμως μια ευκαιρία να ζήσετε:

Σας δίνει 50 άσπρες και 50 μαύρες μπίλιες (ίδιες κατά τα άλλα) και δύο ίδια δοχεία. Σας λέει να μοιράσετε τις μπίλιες με όποιον τρόπο θέλετε εσείς στα δύο δοχεία. Κατόπιν θα σας δέσει τα μάτια, θα τοποθετήσει τα δοχεία κατά τυχαίο τρόπο πάνω σ’ ένα τραπέζι και θα σας αφήσει να πάρετε μια μπίλια από ένα από αυτά (στα τυφλά). Αν τραβήξετε άσπρη μπίλια θα ζήσετε, αλλιώς θα πεθάνετε.

Ποιος είναι ο συμφερότερος τρόπος να τοποθετήσετε τις μπίλιες;

Advertisements

2 Σχόλια »

  1. Αν κάποιο δοχείο μείνει άδειο, η πιθανότητα να τραβήξουμε άσπρη είναι \frac{1}{4}.
    Σε διαφορετική περίπτωση έστω ότι το ένα κουτί έχει n άσπρες και k μαύρες μπίλιες και το άλλο τις υπόλοιπες. Η πιθανότητα τότε να τραβήξουμε άσπρη είναι \frac{1}{2}\cdot\frac{n}{n+k}+\frac{1}{2}\cdot\frac{50-n}{100-n-k}.
    Τώρα ακολολούθησα την εύκολη οδό.
    Με ένα πρόγραμμα δοκιμάζοντας όλους τους συνδυασμούς για τα n και k μπορούμε να βρούμε ότι το μέγιστο επιτυγχάνεται για n=1 και k=0. Άρα θα πρέπει να βάλουμε μια άσπρη μπίλια στο ένα δοχείο και όλες τις υπόλοιπες στο άλλο και θα έχουμε πιθανότητα να ζήσουμε \frac{74}{99}.
    Πάντως αν αντί για 50 βάλουμε μια μεταβλητή a παρατήρησα ότι συνέχεια το μέγιστο παρουσιάζεται για {n,k}={1,0} και επίσης ότι καθώς το a τείνει στο άπειρο, η πιθανότητα να τραβήξουμε άσπρη τείνει στο \frac{3}{4}. θα προσπαθήσω να βρω και μια απόδειξη.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από steliosdes — Μαΐου 5, 2008 @ 11:25 μμ

  2. Σωστά.

    Για να αποδείξεις χωρίς υπολογιστή ότι αυτό είναι το καλύτερο που μπορείς να κάνεις ίσως είναι βολικότερο να εκφράσεις τη συνάρτησή σου ως προς τις μεταβλητές

    k και s=n+k

    αντί για τις μεταβλητές k, n.

    Κρατάς τη μεταβλητή s σταθερή και δείχνεις ότι η συνάρτηση είναι φθίνουσα ως προς k (παραγώγισε και κάνε την παρατήρηση ότι μπορείς να υποθέσεις s\le 50). Πάρε έπειτα k=0 και κάνε το ίδιο με το s.

    Δεν είναι φοβερά συναρπαστική δουλειά, αλλά σίγουρα δεν είναι ντροπή 🙂

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Μαΐου 6, 2008 @ 12:50 πμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: