Προβλήματα Μαθηματικών

Μαΐου 4, 2008

Ταιριάσματα

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 10:25 μμ

Ας είναι A, B \subseteq {\mathbb R}^2 δύο υποσύνολα του επιπέδου. Θα θέλαμε να βρούμε μια 1-1 και επί αντιστοιχία f:A \to B τέτοια ώστε, για κάποια σταθερά C<\infty να ισχύει

|a - f(a)| \le C,

για κάθε a \in A (|x-y| παριστάνει την απόσταση ανάμεσα στα σημεία x,y).

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μια 1-1 συνάρτηση g:A \to B και μια 1-1 συνάρτηση h:B \to A, τέτοιες ώστε να ισχύει

|a - g(a)| \le C,\ \ |b - h(b)| \le C,\ \ \ \forall a \in A, b \in B.

Δείξτε ότι υπάρχει μια f με τις ιδιότητες που επιζητούμε παραπάνω.

Advertisements

4 Σχόλια »

  1. Θεωρώ τις συναρτήσεις g και h με τις ιδιότητες που περιγράφετε. Από την απόδειξη του θεωρήματος Schroder-Bernstein γνωρίζουμε ότι υπάρχει Τ υποσύνολο του Α και συνάρτηση f από το Α στο Β ορισμένη ως:
    f(x)=g(x) , x ανήκει στο Τ
    f(x)=h^{-1}(x) , x ανήκει στο Α\Τ

    Η f είναι 1-1 και επί. Επιπλέον ικανοποιεί και την
    |a - f(a)| \le C για κάθε a στο A:

    * Αν x ανήκει στο T τότε f(x)=g(x) και η ανισότητα ισχύει λόγω υπόθεσης

    * Αν x ανήκει στο A\T τότε f(x)=h^{-1}(x)
    όμως h^{-1}(x) ανήκει στο Β και εξ’υποθέσεως:
    | h^{-1}(x)- h(h^{-1}(x)) | \le C.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από halifaxpier — Μαΐου 6, 2008 @ 7:12 μμ

  2. Αυτό είναι το κλειδί.

    Αλλά πώς ορίζεται η f στο θ. Bernstein-Schroeder. Είναι κάτι το δύσκολο ή κάτι απλό που μπορείς να το περιγράψεις εύκολα;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Μαΐου 6, 2008 @ 7:34 μμ

  3. Αρκεί να δούμε πως ορίζεται το Τ. Ανατρέχοντας στην απόδειξη S-B, βλέπω:

    S={X υποσύνολο του A έτσι ώστε: A\h[B\g[X]] υποσύνολο του Χ}
    T=τομή των στοιχείων του S

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από halifaxpier — Μαΐου 6, 2008 @ 8:50 μμ

  4. Η απόδειξη πάει ως εξής.

    Η ένωση των δύο συνόλων A, B (που τα θεωρούμε ξένα) διαμερίζεται σε «κύκλους» της μορφής:

    \cdots \stackrel{g}{\rightarrow} b \stackrel{h}{\rightarrow} a \stackrel{g}{\rightarrow} \cdots.

    Ένας τέτοιος κύκλος μπορεί (α) να είναι άπειρος και προς τις δύο κατευθύνσεις, (β) να είναι άπειρος μόνο προς τα δεξιά ή (γ) να είναι πεπερασμένος με αναγκαστικά άρτιο μήκος.

    Σε κάθε μια από τις παραπάνω περιπτώσεις τα στοιχεία του A \cup B που μετέχουν στον κύκλο μπορούν να χωριστούν σε ζεύγη (a,b) τέτοια ώστε είτε να έχουμε b=g(a) ή a = h(b). Και στις δύο περιπτώσεις ισχύει η ανισότητα |a-b| \le C που θέλουμε.

    Η συνάρτηση f που ψάχνουμε είναι φυσικά αυτή που ορίζεται έτσι ώστε τα ζεύγη να έχουν τη μορφή (a, f(a)).

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Μαΐου 6, 2008 @ 9:31 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: