Προβλήματα Μαθηματικών

Απρίλιος 16, 2008

Παιχνίδι με ζάρι

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με επιπλέον ερωτήματα — Michalis Loulakis @ 11:52 μμ

(Το πρόβλημα αυτό που έμαθα από τον Μ. Πλεξουσάκη. Το είχε δώσει ο Σ. Πηχωρίδης σαν άσκηση στο μάθημα των Πιθανοτήτων)

Ξεκινώντας από το μηδέν ρίχνουμε ένα (τίμιο) ζάρι και προχωράμε (στο σύνολο των φυσικών αριθμών) μετά από κάθε ζαριά σύμφωνα με την ένδειξη του ζαριού. Κερδίζουμε αν καταφέρουμε μετά από κάποια ζαριά να σταματήσουμε ακριβώς στον αριθμό {N}. Αν {p_N} είναι η πιθανότητα να κερδίσουμε βρείτε το \lim_{N\to\infty} p_N.

Advertisements

2 Σχόλια »

  1. Έχουμε P(0) = 1

    P(N) = (Σ P(Ν-i))/6 1<=i<=Ν για 1<=Ν<=6

    P(N) = (Σ P(Ν-i))/6 1<=i6

    Η αναδρομική σχέση είναι ομογενής γραμμική οπότε έχει λύση της μορφής:

    P(N) = a1*r1^N + a2*r2^N+…+a6*r6^6

    Όπου r1,..,r6 λύσεις της εξίσωσης
    6x^6-x^5-x^4-x^3-x^2-x-1=0
    και
    a1,a2,…,a6 κατάλληλες σταθερές

    Η λύσεις της εξίσωσης είναι
    r1= 0.2942+0.6683i
    r2= 0.2941-0.66836i
    r3=-0.6703
    r4=-0.3756+0.5701i
    r5=-0.3756-0.5701i
    r6=1

    Και οι σταθερές προκύπτουν
    a1=a2=a3=a4=a5=1/7
    και
    a6=2/7

    Οπότε limP(N) όταν Ν τείνει στο άπειρο είναι a6=2/7 καθώς οι άλλοι όροι μηδενίζονται

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από ctzamos — Απρίλιος 22, 2008 @ 10:02 μμ

  2. Πολύ σωστά. Γενικότερα, αν το «ζάρι» έχει κ πλευρές τότε το όριο είναι 2/(κ+1). Μπορείτε να δείτε γιατί?

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από loulakis — Απρίλιος 22, 2008 @ 10:50 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: