Προβλήματα Μαθηματικών

Απρίλιος 10, 2008

Δυσμενείς μεταθέσεις

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 10:30 μμ

f:\mathbb R\to\mathbb R είναι μια συνάρτηση και t ένας αριθμός, ας συμβολίσουμε με f_t την μετάθεση της f κατά t πάνω στον οριζόντιο άξονα, δηλαδή f_t(x)=f(x-t). Είναι δυνατό για κάποια συνεχή περιοδική f και κάποιο t, οι γραφικές παραστάσεις των f και f_t να είναι ξένες;

Με άλλα λόγια, η κόκκινη καμπύλη και η μπλε καμπύλη γίνεται να μην τέμνονται;

Advertisements

6 Σχόλια »

  1. Γειά σας,

    Μόλις ανακάλυψα το blog σας και είπα να ασχοληθώ με το πρόβλημα των δυσμενών μεταθέσεων. Η λύση που προτείνω είναι η εξής:

    Η ερώτηση είναι «Γίνεται η κόκκινη και η μπλέ καμπύλη να μην τέμονται;»

    Η απάντησή μου είναι, όχι, δεν γίνεται να μην τέμνονται.

    Για να το αποδείξουμε αυτό αρκεί να αποδείξουμε ότι υπάρχει ένα χ* τέτοιο ώστε f(x*)=f(x*-t).

    Γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση f είναι περιοδική, έστω με περίοδο Τ. Τότε για κάθε ακέραιο αριθμό ν ξέρουμε ότι:

    f(x)=f(x+νΤ)

    Επίσης η περίοδος της ft(x) είναι πάλι Τ, πράγμα το οποίο σημαίνει ότι:

    f(x-t)=f(x-t+kT)

    Έστω λοιπόν ότι η f παίρνει τιμές από x μέχρι χ+vT. Θα δείξουμε η ανεξάρτητη μεταβλητή της ft (δηλαδή το x-t+kT) μπορεί να πάρει μία τιμή μέσα στο παραπάνω διάστημα [x,x+vT]. Αν αποδείξουμε αυτό τότε σημαίνει ότι στο διάστημα [x,x+vT] η δύο συναρτήσεις τέμνονται τουλάχιστον μία φορά καθώς το y που θα βγάλει η f θα είναι το ίδιο.

    Αρκεί δηλαδή να αποδείξουμε ότι:

    x<=x-t+kT<=x+vT

    και κάνοντας τις πράξεις, μένει ότι αρκεί να δείξουμε ότι:

    (k-v)Τ<=t<=kT

    ανισότητα η οποία εύκολα αποδεικνύεται καθώς μπορεί να βρεθεί εύκολα ακέραιος k τέτοιος ώστε με δεδομένο t και Τ να ισχύει t<=kT και επίσης εύκολα μπορεί να βρεθεί ακέραιος ν τέτοιος ώστε με δεδομένο t, T και k να είναι (k-v)Τ<=t.

    Επομένως οι δύο καμπύλες είναι σίγουρο ότι θα τέμνονται.

    Περιμένω τις απαντήσεις σας στην λύση που προτείνω.

    Συνεχίστε και εμπλουτίστε το blog με ασκήσεις που είναι ενδιαφέρουσες.

    Θα πρότεινα να βάζετε ασκήσεις οι οποίες δεν απαιτούν εξειδικευμένες γνώσεις και τις οποίες θα μπορούσαν να απαντήσουν άτομα που δεν σπουδάζουν μαθηματικά (όπως εγώ!).

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από fititakos — Απρίλιος 13, 2008 @ 1:33 πμ

  2. Πράγματι, η κόκκινη καμπύλη και η μπλε καμπύλη δεν γίνεται να μην τέμνονται. Το επιχείρημα όμως που δίνεις δεν είναι σωστό. Αν ήταν, θα είχες αποδείξει ότι το αποτέλεσμα ισχύει για μια αυθαίρετη περιοδική f. Αυτό όμως δεν είναι αλήθεια. Η συνέχεια της συνάρτησης είναι απαραίτητη. Για παράδειγμα, αν πάρουμε την ασυνεχή περιοδική συνάρτηση f(x)=x-[x], όπου [x] είναι το ακέραιο μέρος του x, τότε οι γραφικές παραστάσεις των f και f_{0.1} είναι ξένες. Αυτό που προσπάθησες να δείξεις είναι ότι για κατάλληλη επιλογή των k,n, το x-t+kT θα πέσει στο διάστημα [x,x+nT]. Αυτό όμως δεν αρκεί για αποδείξεις ότι η f και η f_t συμφωνούν σε κάποιο σημείο. Δεν γίνεται να αποφύγεις τη συνέχεια της συνάρτησης…

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Απρίλιος 13, 2008 @ 7:02 μμ

  3. Στην εκφώνηση όμως δεν λέτε ότι για «οποιαδήποτε συνεχή συνάρτηση»; Άρα καλώς δεν υποθέτω την συνέχεια της συνάρτησης;

    Κατάλαβα κάτι λάθος;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από fititakos — Απρίλιος 13, 2008 @ 8:03 μμ

  4. Στην εκφώνηση λέει ότι η συνάρτηση είναι συνεχής και περιοδική. Αν αφαιρέσεις την υπόθεση της συνέχειας τότε το ζητούμενο δεν ισχύει. Δηλαδή, αν η συνάρτηση είναι ασυνεχής τότε μπορεί η κόκκινη και η μπλε καμπύλη να μην τέμνονται. Επομένως, αν δεν υποθέσεις τη συνέχεια είναι αδύνατο να αποδείξεις το συμπέρασμα. Σε «παραδοσιακή» γλώσσα το πρόβλημα θα ήταν διατυπωμένο ως εξής:

    Έστω f συνεχής και περιοδική. Δείξτε ότι για κάθε t υπάρχει x τέτοιο ώστε f(x)=f_t(x).

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Απρίλιος 13, 2008 @ 10:39 μμ

  5. Συμφωνώ απόλυτα στο ότι η συνέχεια της συνάρτησης είναι απαραίτηση προυπόθεση για να τέμνονται.

    Επομένως να υποθέσω ότι θα πρέπει στην απόδειξή μου να χρησιμοποιήσω με κάποιο τρόπο και την συνέχεια; Αυτό μπορεί εύκολα να γίνει νομίζω χρησιμοποιώντας το σύνολο τιμών της συνάρτησης. για παράδειγμα στο διάστημα [x,x+nT] και οι δύο συναρτήσεις παίρνουν όλες τις τιμές του συνόλου τιμών τους π.χ. [α,β] και άρα η απόδειξη είναι σωστή.

    Συμφωνείτε η είμαι εντελώς off?

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από fititakos — Απρίλιος 13, 2008 @ 10:50 μμ

  6. Πολύ σωστά. Αυτή είναι η λύση του προβλήματος.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Απρίλιος 13, 2008 @ 11:36 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: