Προβλήματα Μαθηματικών

Απρίλιος 8, 2008

Βόλλεϋ

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Michalis Loulakis @ 1:22 πμ

Σε έναν αγώνα βόλλεϋ παίζουν δύο ομάδες Α, Β. Κάθε πόντος ξεκινά με σερβίς από μια από τις δύο ομάδες και τελικά κερδίζεται είτε από τη μια είτε από την άλλη. Υποθέτουμε ότι όταν το σερβίς έχει η ομάδα Α (Β) ο πόντος κερδίζεται από την ομάδα Α με πιθανότητα p_A  (p_B) ή από την ομάδα Β με πιθανότητα 1-p_A (1-p_B). H έκβαση κάθε πόντου είναι ανεξάρτητη από ό,τι έχει συμβεί ως τότε. Η πρώτη ομάδα που συμπληρώνει 25 πόντους κερδίζει ένα σετ και η πρώτη ομάδα που κερδίζει 3 σετ κερδίζει και τον αγώνα.

Στη Φιλενδία και στην Διπλομπλοκία έχουν λίγο διαφορετικούς κανόνες σχετικά με το ποια ομάδα σερβίρει κάθε πόντο. Και στις δύο χώρες γίνεται κλήρωση για το ποια ομάδα σερβίρει τον πρώτο πόντο του αγώνα και οι ομάδες σερβίρουν εναλλάξ τον πρώτο πόντο σε κάθε επόμενο σετ. Στη Φιλενδία όμως οι δύο ομάδες σερβίρουν εναλλάξ όλους τους πόντους σε ένα σετ, ενώ στη Διπλομπλοκία το σερβίς σε κάθε πόντο (μετά τον πρώτο πόντο σε κάθε σετ) το κάνει η ομάδα που κέρδισε τον προηγούμενο.

Πριν από κάθε αναμέτρηση ανάμεσα στις εθνικές ομάδες των δύο χωρών γίνονται ατέλειωτες συζητήσεις σχετικά το ποιά ομάδα ευννοεί ο ένας ή ο άλλος κανονισμός. Δείξτε όμως ότι η πιθανότητα που έχει η κάθε ομάδα να κερδίσει είναι η ίδια, είτε με τον ένα είτε με τον άλλο κανονισμό.

Advertisements

5 Σχόλια »

  1. Mιχάλη Λουλάκη, πολύ ωραίο θέμα. Μια διευκρίνιση ήθελα. Δεν είμαι βέβαιος ακόμη πώς ακριβώς πρέπει να να αντιμετωπιστεί το ζητούμενο. Αν είναι δηλαδή καθαρά «υπολογιστικό» ,διαδοχικών υπό συνθήκη πιθανοτήτων ,Μαρκοβιανή στοχαστική διαδικασία, κ.λ.π , ή είναι κάτι πολύ πιο «απλό» και ευθύ με βάση τυπική Λογική, αλλά σε περίπτωση που ισχύει η πρώτη εκδοχή,για να μην κάνω «τσουβάλια» ίσως υπολογισμούς με λάθος προϋποθέσεις, ρωτώ το εξής:
    H «δύο διαδοχικοί» πόντοι συνθήκη ισχύει. Δηλαδή στο 24-24 θέλει μια ομάδα 2 πόντους ή 1 για νίκη;
    Το 5ο σετ στο 2-2 , παίζεται κι αυτό στους 25, ή στους 15;
    Στο 5ο κρίσιμο σετ, συνεχίζεται η εναλλαγή κλήρωσης από το προηγούμενο , ή (όπως γίνεται στην πραγματικότητα) γίνεται νέα κλήρωση για το σερβίς;
    Μερσί!

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Rizopoulos Georgios — Νοέμβριος 21, 2013 @ 1:08 μμ

  2. Συγγνώμη,για το διπλο-paste. Ελπίζω αυτή τη φορά να εμφανιστεί σωστά το σχόλιο,μαζί με τα πετσοκομμένα κομμάτια, Διόρθωσα και κάποιες παραδρομές. (άκου Competitions with repetitions, αντί του ορθού Combinations with repetitions !) και να παρακαλέσω και τον Μ.Κολουντζάκη να σβήσει το αποπάνω μου σχόλιο όταν ευκαιρεί.

    Nα ζητήσω προκαταβολικά κατανόηση για τις αγγλικούρες που θα χρησιμοποιήσω στην ορολογία. Δεν είναι «μανία»,αλλά απλώς δεν είμαι σίγουρος για τις δόκιμες ελληνικές,και όπου δεν είμαι σίγουρος βάζω τις εγγλέζικες.
    Θεωρώ τις συνήθεις συνθήκες κανονισμών, δηλαδή στο 24-24 και στο 14-14 σε ενδεχόμενο 5ο σετ, απαιτούνται 2 συνεχείς πόντοι του Α ή του Β για νίκη. «Πνεονέκτημα» (Πλ) και νίκη (Ν).
    Γενική παρατήρηση: Στην πραγματικότητα ,και βάσει στατιστικών στοιχείων που υπάρχουν (και της κοινής λογικής) η πιθανότητα pA και pB να παρθεί πόντος από την σερβίρουσα ομάδα είναι μικρότερη από 0,5 (στατιστικά κοντά στο 0,25 ώς 0.30. Δηλαδή στα 4 σερβίς,κατά μέσο όρο κερδίζεται ένας ώς»ένας και κάτι» πόντος απ’αυτόν που σερβίρει. Λογικό, μιας και η «υποδοχή» έχει το πλεονέκτημα της πρώτης επίθεσης.
    Οπότε και στο πρόβλημά μας θεωρώ pA,pB Ο.Κ
    Αν έστω S, το σύνολο των καταστάσεων (states) της αλυσίδας που περιγράφει ένα σετ ,ορίζουμε:
    S:{ ( i j s): i ανήκει {0,1,2,3,…,24,Πλ,Ν} , j ανήκει στο {0,1,2,…,24}, s ανήκει {ομ.Α,ομ.Β} }
    (Υπόμνημα:To i δηλαδή αντιπροσωπεύει το σκορ(πόντους) της ομάδας s που σερβίρει, το j το σκορ της άλλης ομάδας που «υποδέχεται σερβίς» (1-s), Πλ=πνεονέκτημα/advantage , N=Νίκη, και ο τρίτος αριθμός της τριάδας δείχνει την ομάδα που σερβίρει σε κάθε state)
    H μεταβατικές πιθανότητες (transition probabilities) για το πολύ 47 πόντους συνολικά, και εναλλαγή σερβίς ανάλογα με το ποιος παίρνει πόντο, δηλαδή για max{i,j} (i’,j’,s’) )
    (i, j, s)—->(i+1 , j , s) με πιθ.= ps (pA ή pB)
    (i, j, s)—->(j+1 ,i , 1-s) με πιθ.= 1-ps (1-pA ή 1-pB)
    πιο συγκεκριμένα ,σε ένα 25άρι σετ, ας δούμε τι γίνεται σε κρίσιμες συνθήκες,στο 23-24 και αντίθετα:
    (23,24,s)—->(24,24,s) με πιθ. ps
    (23,24,s)—->(N, 23, 1-s) με πιθ (1-ps)
    (24,23,s)—->(N,23,s) με πιθ. ps
    (24,23,s)—->(24,24,1-s) με πιθαν. 1-ps
    Στο deuce (ισσοπαλία 24-24) τώρα:
    (24,24,s)—->(Πλ,24,s) πιθ. ps
    (24,24,s)—->(24,Πλ,1-s) πιθ. 1-ps
    (Πλ,24,s)—->(N,24,s) πιθ. ps
    (Πλ,24,s)—->(24,24,1-s) πιθ. 1-ps

    Noμίζω ότι θα μπορούσα-ως προς τη ζητούμενη απόδειξη- να σταματήσω εδώ.
    Οι παραπάνω 8 transition probabilities , καλύπτουν όλες τις οριακές περιπτώσεις και λειτουργούν απολύτως «κυκλικά» και ισοδυνάμως «μεταβατικά»μεταξύ της διαδοχικής εναλλαγής σερβίς και του «σερβίς πάει στο νικητή του πόντου» π.χ το (24,24,s) δεν θα οδηγούσε ,όπως πιο πανω, στο (Πλ,24,s) αλλά στο (24,Πλ,1-s) με την ίδια πιθ. ps , κ.λ.π.
    Αυτό ,νομίζω ότι είναι διαισθητικά φανερό και από την boundary condition ενός ενδεχόμενου sweep («σκούπα» στα ελλήνικος) ,τη νίκη δηλαδή σε ένα σετ με το απόλυτο 25-0. Το p(N,0,s) θα ήταν στο «Διπλομπλοκικό»σύστημα (που είναι και το ισχύον σήμερα στο Βόλλευ γενικά) =ps^25 (αφού η αρχικά σερβίρουσα ομάδα s πρέπει να κερδίσει 25 διαδοχικούς πόντους). Στο Φιλενδικό θα ήταν ps^13*(1-ps)^12 . Για ισοδύναμε ομάδες και ισοπίθανους γενικά πόντους ps=0,5 και οι 2 ολικές πιθανότητες ταυτίζονται.
    Τώρα ,ο υπολογισμός της υπό συνθήκη πιθανότητας η ομάδα που αρχίζει να σερβίρει στο πρώτο σετ να κερδίσει το σετ (και το ματς) είναι κομματάκι δύσκολος.
    Πρέπει ,με αρχική κατάσταση την (0,0,s) να υπολογιστούν όλες οι ενδιάμεσες πιθανότητες να φτάσουμε μία απο τις καταστάσεις {(Ν,0,s),(N,1,s),…,(N,23,s),(N,24,s)}
    Αν θέλαμε να υπολογίσουμε τις absorbing probabilities αυτών των states ,αρχής γενομένης από το (0,0,s) o Πίνακας (transition matrix) που προκύπτει είναι λίγο τεράστιος (1265 Χ 1265) και ο ματρακάς μου που αποκαλώ «κομπιούτερ» αδυνατεί να ανταπεξέλθει σε λύση συστήματος 1265 γρ.εξισώσεων, πόσο μάλλον ο βιολογικός ματρακάς που αποκαλώ μυαλό…)
    Εναλλακτικά όμως, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον αναδρομικό τύπο poy ypolog;izei «απ’ευθε’ίας» αυτή την πιθ.:
    p(η ομάδα s κερδίζει 25άρι σετ όταν σερβίρει πρώτη)=
    =Σ(χ=0 ώς 23)p(N,χ,s) + p(24,24,s)*p(Πλ,s) + p(24,24,1-s)*(1-p(Πλ,1-s))
    όπου p(N,χ,s) η πιθανότητα να κερδηθεί το σετ από την ομάδα s και η αντίπαλη ομάδα 1-s να έχει πάρει ΑΚΡΙΒΩΣ χ πόντους.Η p(24,24,s) σημαίνει -κατά τα προηγούμενα- ότι φτάνουμε στο τάι-μπρέηκ και σερβίρει η s ,kai p(Πλ,s) σημαίνει πιθαν. η s να κερδίσει το τάι-μπρέηκ (άρα και το σετ)
    Ο υπολογισμός του p(N,x,s), δεν είναι απλή υπόθεση, απαιτεί Συνδυαστική γιατί πρέπει να συνυπολογίοσυμε ΌΛΑ τα πιθανά μπρέηκς(αλλαγές σερβίς) που έλαβαν χώρα στο σετ, και τελικά δίνεται από τον τύπο:

    p(N,x,s)= Σ(μ=1 ώς χ)Cτελικό(μ,25,χ)ps^(25-μ)*p(1-s)^(x-μ) *(1-ps)^μ *(1-p(1-s))^μ (1)

    Το Cτελικό(μ,ν,χ) εκφράζει το γινόμενο CR(μ,ν-χ)*CR(μ+1, ν-μ) [CR σημαίνει Combinations with repetitions , δηλαδή οι συνδυασμοί με επανάληψη k αντικειμένων από ένα σύνολο n αντικειμένων είναι: CR(n,k)=C(n+k-1 ,k) ]
    O όρος Cteliko(μ,25,χ) μετράει/υπολογίζει όλες τις πιθανές υπακολουθίες συνεχόμενων κερδισμένων πόντων από τον «σέρβερ» μεταξύ δύο διαδοχικών μπρέηκ του σερβίς.
    Με βάση τα παραπάνω, και μετά από υπολογισμούς που παραλείπω, καταλήγουμε ότι η absorbing probability p(Πλ,s) ξεκινώντας από την (24,24,s) της κατ. (Ν,24,s) είναι:
    p(Πλ,s)= ps^2 / (ps^2 + p(1-s)^2 + ps*p(1-s) – ps^2 p(1-s) – ps p(1-s)^2) (2)
    H (2) φαίνεται ότι έχει «κυκλικά» εφαρμογή και στη Φιλενδία.
    Βάζοντας τιμές πιθανοτήτων pA kai pB στις εξισώσεις , βρίσκουμε ας πούμε ότι η πιθανότητα νίκης όταν σεβίρει πρώτη στο σετ η Α για pA =pB =0,5 είναι 0,5 (κατι δεν θα πήγαινε καλά, αν βρίσκαμε κάτι ‘άλλο…) για pA=pB=0,2 —-p(νικηΑ)=0,45762
    pA=pB=0,3—-p(νικη Α) =0,47516
    pA=pB=0,4—-p(νικηΑ)=0,48835
    pa=pB=0,6—-p(νίκη Α)=0,51172
    …..
    Αποτελέσματα που συνάδουν με τη λογική και τη διαίσθηση και δείχνουν ότι είναι (για τιμές pA,pB <0,5) πλεονεκτικό να υποδέχεσαι -και όχι να σερβίρεις – σε 'ένα σετ (25άρι, αλλά προφανώς δεν αλλάζει κάτι στο 15-άρι) εκτός κι αν το σερβίς σου είναι "φαρμάκι"
    Π.χ για pA=0,4 και pB=0,3 η πιθαν, νίκη Α =0,76499
    Οπότε, με οποιοδήποτε από τα δύο συστήματα, εφόσον το πρώτο σερβίς κληρώνεται και μετά αλλάζει ανα σετ το όποιο πλεονέκτημα ή μειονέκτημα , αίρεται (αφού το "απολαμβάνουν" ή το "υπόκεινται" και οι 2 ομάδες. Προφανώς όποιος κερδίζει την ενδεχόμενη κλήρωση στο 5ο σετ και υποδέχεται αρχικά, έχει ένα μικρό πλεονέκτημα για την τελική νίκη.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Rizopoulos Georgios — Νοέμβριος 23, 2013 @ 3:48 μμ

  3. Δεν μπορώ να καταλάβω γιατί κάποια κομμάτια «μασιούνται» ! Κάνω μια τελευταία προσπάθεια, με περίφραση:
    » Oι μεταβατικές πιθανότητες (transition probabilities) για το πολύ 47 πόντους συνολικά ,και εναλλαγή σερβίς ανάλογα με το ποιος παίρνει πόντο, δηλαδή για max {i , j} μικρότερο ή ίσο 24 είναι: Θα συμβολίσω τη μετάβαση από την κατάσταση (άι , τζέι, ες) στην (άι-τόνος, τζέι-τόνος, ες-τόνος) με (i , j, s) —–> (i’ ,j’ ,s’) »

    » transition Matrix probabilities «

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Rizopoulos Georgios — Νοέμβριος 23, 2013 @ 4:00 μμ

  4. Εφόσον ισχύει η ανεξαρτησία της έκβασης κάθε πόντου από το παρελθόν ,η μόνη παράμετρος που «μετράει» είναι το αν σερβίρεις ή όχι.
    Η εξέλιξη του σκορ, η οποία καθορίζει και τον πιθανό νικητή του σετ ή του ματς καθορίζεται από μια ακολουθία διακριτών καταστάσεων (states) σε μια στοχαστική αλυσίδα Μαρκόφ . Αν μπορέσουμε να ορίσουμε σαφώς τον πίνακα (transition Matrix) το πρόβλημα θα αναλυθεί στα

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Rizopoulos Georgios — Νοέμβριος 23, 2013 @ 9:51 μμ

  5. Κατ’ αρχήν συγγνώμη Γιώργο για την καθυστερημένη απάντηση.

    Αυτή κι αν είναι αναβίωση ξεχασμένου post!!! και μάλιστα ενός από τα αγαπημένα μου.

    Δυστυχώς η υπόθεση ότι το σετ τελειώνει στους 25 πόντους (και δεν συνεχίζεται μέχρι κάποια ομάδα να πάρει διαφορά +2, όπως στην πραγματικότητα) είναι σημαντική. Χωρίς αυτήν δεν είναι σωστό ότι τα δύο σύνολα κανονισμών δίνουν την ίδια πιθανότητα νίκης. Αντίθετα, το γεγονός ότι παίζονται πολλά σετ, το ότι κάποιο από αυτά μπορεί να τελειώσει στους 15 πόντους, και το ποιος σερβίρει πρώτος στο 5ο σετ αν χρειαστεί δεν επηρεάζουν την ορθότητα του ισχυρισμού. Αρκεί να δείξουμε ότι με τα δύο σύνολα κανονισμών η ομάδα που σερβίρει πρώτη έχει την ίδια πιθανότητα (με το ένα ή το άλλο σύνολο κανονισμών) να φτάσει πρώτη τους Ν πόντους. Τότε θα έχει και την ίδια πιθανότητα να πάρει το παιχνίδι, αφού στις δύο χώρες ακολουθούν τον ίδιο κανονισμό για το ποιος σερβίρει τον πρώτο πόντο κάθε σετ.

    Για να δεις ότι έχει σημασία το σετ να τελειώνει μόλις μια ομάδα φτάσει ένα αριθμό πόντων (χωρίς να χρειάζεται το +2) λύσε το πρόβλημα του πλεονεκτήματος (είναι σαν σετ 2 πόντων) και με τα δύο σετ κανονισμών. Η πιθανότητα νίκης αυτού που σερβίρει πρώτος διαφέρει στις δύο χώρες.

    Η ιδέα με την μαρκοβιανη αλυσίδα είναι πολύ σωστή και πράγματι με υπομονή ισοβίτη ή ένα καλό «ματρακά» (από το matrix?) μπορεί κανεις να αντιμετωπίσει κάθε τέτοιο πρόβλημα (πιθανότητες απορρόφησης, αναμενόμενος χρόνος μέχρι την απορρόφηση), που ανάγεται τελικά σε ένα γραμμικό σύστημα κάνοντας αυτό που λέμε «ανάλυση πρώτου βήματος», όπως κι εσύ παραπάνω. Μάλιστα αν η αλυσίδα από τις πολλές καταστάσεις του χώρου μεταβαίνει σε ένα βήμα μόνο σε «γειτονικές» καταστάσεις ο πίνακας αυτού του συστήματος είναι αραιός και το πρόβλημα δεν είναι τόσο απελπιστικό.

    H ιδέα σου με το άθροισμα είναι πολύ κοντά στην λύση. Για να βοηθήσω λίγο ακόμη, φανταστείτε ότι το σετ δεν τελειώνει όταν μια ομάδα φτάσει τους 25, αλλά παίζονται ακριβώς 49 πόντοι. Στη Φιλενδία συνεχίζουν να σερβίρουν εναλλάξ, ενώ στη Διπλομπλοκία μόλις κάποιος φτάσει τους 25 ο αντίπαλός του σερβίρει όλους τους υπόλοιπους πόντους…

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Νοέμβριος 26, 2013 @ 9:05 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: