Προβλήματα Μαθηματικών

Απρίλιος 4, 2008

Πώς να εξαφανίσετε ένα σημείο του κύκλου

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Mihalis Kolountzakis @ 7:01 μμ

Χωρίστε ένα κύκλο σε δύο ξένα σύνολα A και B ώστε να είναι δυνατό με κάποια στερεά κίνηση να μετακινήσετε τα A και B έτσι ώστε

  1. να παραμένουν ξένα και
  2. η ένωσή τους να είναι ο ίδιος κύκλος μείον ακριβώς ένα σημείο.
Advertisements

8 Σχόλια »

  1. Υπόδειξη:

    Πάρτε το σύνολο A να είναι μια κατάλληλη ακολουθία από σημεία του κύκλου και B το συμπλήρωμά του.

    Μετακινείστε το A χρησιμοποιώντας μια στροφή.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Απρίλιος 6, 2008 @ 3:30 μμ

  2. Νομίζω πως μπορείς να κάνεις το εξής: παίρνεις a_0=1, a_1=e^{2\pi i u} όπου u άρρητος στο (0,1) και a_n = a_1^n. Τότε η ακολουθία a_n και το συμπλήρωμά της στον κύκλο σχηματίζουν όλον τον κύκλο και αν εφαρμόσεις τη στροφή a_1 στην ακολουθία παίρνεις την υπακολουθία a_1,\cdots αλλά χάνεις το a_0. Το τελευταίο ισχύει διότι αν a_n=1 για κάποιο n σημαίνει ότι το a_1 είναι ρίζα της μονάδας, δηλαδή η γωνία στον εκθέτη του a_1 ρητή, κάτι που δεν ισχύει από την υπόθεση. Επομένως μετά τη στροφή βρίσκεσαι πάλι μέσα στην ακολουθία και έχεις χάσει ακριβώς ένα σημείο. Μαζί με το συμπλήρωμα έχεις τον κύκλο μείον ένα σημείο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από ikonst — Απρίλιος 7, 2008 @ 3:02 μμ

  3. Πολύ σωστά.

    Για σωστό latex στο wordpress γράφετε $\latex x^y$ (αλλά χωρίς το \) αντί για $x^y$ (για παράδειγμα).

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Απρίλιος 7, 2008 @ 7:00 μμ

  4. Αγαπητέ κύριε Κολουντζάκη, δεν βρίσκω τρόπο να σας στείλω το παρακάτω πρόβλημα και έτσι συγχωρείστε μου το εμβόλιμο εκτός του θέματος σας. Αν το ίδιο το πρόβλημα δημιουργεί πρόβλημα πέραν της μαθηματικής φύσης του, επί των παραθέσεων δηλαδή, μπορείτε να το σβήσετε και να με συμπαθάτε. Δεν είχα σκοπό να το δημιουργήσω.
    Πρόβλημα:
    Ευκλείδεια γεωμετρία.
    Ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΓΔ τέμνονται στο Ο. Τα τεμνόμενα ορίζουν επιφάνεια (μήκος και πλάτος) και όλο σχήμα ονομάζω Κ. Το Κ εκτός από το να ορίζει επίπεδο αποτελεί συγχρόνως και ίδιον σχήμα επιφάνειας μήκους και πλάτους και γιατί;

    Επιφάνεια δε ο, τι έχει μόνο μήκος και πλάτος.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από aplos — Απρίλιος 25, 2008 @ 8:10 μμ

  5. Δε μπορώ να καταλάβω ποιο είναι το ερώτημα.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Απρίλιος 25, 2008 @ 11:15 μμ

  6. Σεβαστέ μου κύριε καθηγητά, σας ευχαριστώ πάρα πολύ για την κατανόηση του εμβόλιμου και θα βοηθήσω για την κατανόηση και του προβλήματός μου.
    Επί του επιπέδου υπάρχουν:
    α. Το σημείο που δεν έχει κανένα μέγεθος και δεν επιδέχεται μέτρο.
    β. Η ευθεία (μία μορφή των γραμμών) που έχει μόνο μήκος και επιδέχεται μέτρο μήκους.
    γ. Το επίπεδο που έχει μήκος και πλάτος και επιδέχεται σαν υποεπίπεδο, μέτρο εμβαδού.
    Όμως ανεξάρτητα από τα μέτρα, το σημείο δεν έχει κανένα μέγεθος, η ευθεία έχει μέγεθος μήκους και το επίπεδο μέγεθος μήκους και πλάτους. Η εμφάνιση του μέτρου δεν διασαλεύει αυτές τις «φύσεις» των στοιχείων σημείο, ευθεία και επίπεδο, δηλονότι και μέτρο να μην υπήρχε, το σημείο δεν θα καταλάμβανε επιφάνεια, η ευθεία θα καταλάμβανε μέρος επιφάνειας του μεγέθους του μήκους και η επιφάνεια ή υποεπιφάνεια, θα καταλάμβανε επιφάνεια του μεγέθους μήκους και πλάτους.
    Σημειώνω ότι η έννοια του εμβαδού, αναφέρεται γενικά στις «εκτάσεις» των σχημάτων δύο διαστάσεων ή υποεπιφάνειων ή υποεπιπέδων χωρίς να εξειδικεύεται στα πολυγωνικά χωρία. Απλά το αξίωμα του εμβαδού αναφέρεται εξειδικευμένα στα πολυγωνικά χωρία, αλλά αυτό δεν συνεπάγεται, ότι σχήμα όπως το Κ επειδή μπορεί να μη θεωρηθεί πολυγωνικό χωρίο, χάνει τη δυνατότητά του να εκφράζει και επομένως να «καταλαμβάνει» επιφάνεια με έκταση δύο διαστάσεων (μήκους, πλάτους) επί του επιπέδου, απόλυτα σύμφωνα με την αρχική έννοια επίπεδο.
    Θεωρητική γεωμετρία Β΄ Λυκείου του ΟΕΔΒ, των καθηγητών κυρίων Αλιμπινίση, Δημάκου, Κυριακόπουλου, Κυριαζή και Τασσόπουλου,
    2.2 Η έννοια του εμβαδού, σελίδα 30.
    «Η έννοια του εμβαδού αναφέρεται στην έκταση των επιφανειών».

    Το σχήμα Κ (εκ των δύο στο Ο τεμνόμενων ευθύγραμμων τμημάτων ΑΒ και ΓΔ) σαν σχήμα μήκους και πλάτους, είναι υποεπιφάνεια ή υποεπίπεδο με δική του έκταση;
    Το αν μπορούμε ή δεν μπορούμε να το μετρήσουμε δεν το εξετάζουμε, αλλά εξετάζουμε μόνο την υπάκουη στην αρχική έννοια επίπεδο ή επιφάνεια «φύση» του.
    Αναγνωρίζεται και αναγνωρίζετε το σχήμα Κ σαν υποεπίπεδο ή υποεπιφάνεια;
    Το Κ δεν είναι σημείο.
    Το Κ δεν είναι μία ευθεία.
    Το Κ ευρίσκεται δοσμένο επί του επιπέδου χωρίς να είναι ούτε σημείο, ούτε ευθεία. Υπάρχει άλλη εναλλακτική λύση ώστε να μη το αναγνωρίσουμε, ούτε σαν υποεπίπεδο που «δικαιούται» ή δικαιούται εμβαδού, ανεξάρτητα από το αν μπορούμε ή δεν μπορούμε να το μετρήσουμε με το μέτρο εμβαδού;
    Εξαιρείται το Κ από υποεπίπεδο ή δεν εξαιρείται και γιατί;
    Τι είναι το Κ επί του επιπέδου, όταν δεν είναι ούτε σημείο, ούτε ευθεία;
    Θα με ικανοποιούσε μία απάντηση της μορφής:
    1. Το Κ δεν είναι υποεπίπεδο σχήμα, αλλά είναι ….. επειδή….
    2. Το Κ είναι υποεπίπεδο σχήμα επειδή…

    Ζητώ την αιτιολογία άρνησης ή αποδοχής αναγνώρισης του Κ σαν επιφάνεια δύο διαστάσεων. Ελπίζω η πολυλογία μου εκτός από κουραστική να είναι τουλάχιστον και χρήσιμη στην κατανόηση του προβλήματός μου. Και πάλι σας ευχαριστώ θερμά.

    ΥΓ: Θα ήταν τιμή μου να ανοίξετε ιδιαίτερο θέμα για το πρόβλημά μου, ώστε να μην αισθάνομαι ενοχές, ότι καταστρέφω το δικό σας πρόβλημα και την τάξη του εξαιρετικού σας blog.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από aplos — Απρίλιος 26, 2008 @ 10:24 πμ

  7. Αγαπητέ/ή aplos:

    Νομίζω ότι τα ερωτήματα που θέτεις είναι πέρα από τις δυνατότητές μου να τα απαντήσω. Έχω την εντύπωση ότι δεν είναι ακριβώς μαθηματικά τα ερωτήματα αυτά, αλλά εμπεριέχουν κάποια «φιλοσοφική» συνιστώσα, για την οποία η γνώμη μου δεν αξίζει παραπάνω από του οποιουδήποτε.

    Ελπίζω κάποιος άλλος που διαβάζει το blog να σου απαντήσει ικανοποιητικά.

    Δε θα ήθελα όμως να ανοίξω νέα ανάρτηση γι’ αυτό, ακριιβώς επειδή δε θεωρώ ότι ταιριάζει στη φύση των ερωτημάτων που συζητούνται εδώ.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Απρίλιος 26, 2008 @ 5:36 μμ

  8. Σε κάθε περίπτωση σας ευχαριστώ πολύ και ασφαλώς δεν επιμένω να δεχθώ απάντηση αφού αδυνατείτε. Όμως η παρατήρηση που κάνετε ότι υπεισέρχεται φιλοσοφική συνιστώσα, δεν είναι ακριβής αν μου επιτρέπετε.
    Υπάρχει η αρχική έννοια επίπεδο σαν «ο,τι έχει μόνον μηκός και πλάτος» και το Κ τα διαθέτει αμφότερα, ενώ δεν υπάρχει εναλλακτική λύση αναγνώρισης του Κ ούτε σαν σημείο, ούτε σαν ευθεία.
    Το ερώτημα είναι αμιγώς μαθηματικό κύριε καθηγητά μου και μάλιστα το απλούστερο δυνατό.
    Είστε πολύ ευγενικός και με τιμήσαστε με την απάντησή σας.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από aplos — Απρίλιος 26, 2008 @ 8:11 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: