Προβλήματα Μαθηματικών

Απρίλιος 4, 2008

Ο μακρύς δρόμος

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Themis Mitsis @ 8:23 μμ

Περιγράψτε πως μπορείτε να κατασκευάσετε μια συνεχή κλειστή καμπύλη

\gamma:[0,1]\to\mathbb R^2

τέτοια ώστε το \gamma([0,1]) έχει εμβαδό μηδέν και το \gamma([a,b]) έχει άπειρο μήκος για κάθε 0\leq a<b\leq1. Δηλαδή αν ξεκινήσετε από οποιοδήποτε σημείο της \gamma και περπατήσετε πάνω της, θα διαγράψετε άπειρο μήκος, ανεξάρτητα από το πόσο σύντομη είναι η βόλτα σας.

Advertisements

3 Σχόλια »

  1. Δείτε τα δυο πρώτα βήματα της κατασκευής εδώ.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Απρίλιος 13, 2008 @ 7:55 μμ

  2. Τα βήματα της κατασκευής δε με βοηθάνε.
    Φαίνεται σαν να παίρνουμε το αρχικό τρίγωνο και
    να προσθέτουμε 3 ισόπλευρα τρίγωνα με
    ακμή το 1/3 του αρχικού τριγώνου το καθένα.
    Στη συνέχεια αφαιρούμε το κοινό τους τμήμα.
    Ετσι όμως αν συνεχίσουμε το τελικό σχήμα
    προφανώς θα έχει μεγαλύτερο εμβαδόν από
    το αρχικό.

    Η σκέψη μου λοιπόν ήταν να σχηματίσουμε τα
    τρίγωνα προς το εσωτερικό της πλευράς με την
    οποία έρχονται σε επαφή. Παίρνουμε δηλαδή
    σε κάθε βήμα τρίγωνα με ακμή το 1/3 της
    ακμής στην οποία θα τα κολλήσουμε. Τα
    κολλάμε στο κέντρο της κάθε ακμής ώστε
    να δείχνουν προς τα μέσα και αφαιρούμε
    το κοινό τους τμήμα.

    Πάλι όμως φαίνεται ότι αυτό δε βγάζει πουθενά.
    Το τελικό σχήμα αν σχηματίσουμε την
    γεωμετρική πρόοδο που περιγράφει το
    τελικό εμβαδόν και πάρουμε το όριο
    στο άπειρο, έχει εμβαδόν τα 2/5 του εμβαδού
    του αρχικού σχήματος.

    Αρα μια άλλη ιδέα είναι να αφαιρούμε
    κάθε φορά περισσότερο εμβαδόν. Το
    καλύτερο που μπορούμε να κάνουμε είναι
    να ενώνουμε σε κάθε βήμα τα μέσα των
    πλευρών του κάθε τριγώνου που υπάρχει στο
    σχήμα και εν συνεχεία να «σβήνουμε» το
    εσωτερικό του κεντρικού τριγώνου.
    Ετσι σε κάθε βήμα αφαιρούμε το 1/4 του
    εμβαδού κάθε τριγώνου.

    Οσον αφορά τις πράξεις τώρα:
    Εστω χ και υ το αρχικό εμβαδόν και
    περίμετρος αντίστοιχα.
    Τότε το τελικό εμβαδόν δίνεται από
    χ-χ(1/4-3/16-9/64-27/256-…) δηλαδή
    έχουμε γεωμετρική πρόοδο με λόγο 3/4 και
    αρχικό όρο το 1/4 που έχει όριο το 1
    στο άπειρο.

    Η τελική περίμετρος δίνεται από
    υ+υ(1/2+3/4+9/8+27/16+…) δηλαδή έχουμε
    γεωμετρική πρόοδο με λόγο 3/2
    και αρχικό όρο 1/2 η οποία φυσικά πάει στο
    άπειρο.

    Επιπλέον μπορούμε να πάμε από ένα σημείο
    σε ένα άλλο αφού δεν αφαιρούμε ποτέ
    ακμές.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από xatzial — Ιουλίου 8, 2008 @ 2:02 μμ

  3. Η λύση είναι αυτό που γράφεις στην πρώτη παράγραφο. Αυτό που παίρνεις τελικά είναι η λεγόμενη «χιονονιφάδα του Koch». Είναι ένα αυτο-όμοιο fractal (αν κοιτάξεις με έναν μεγενθυτικό φακό οποιοδήποτε σημείο θα δεις ακριβώς την ίδια δομή). Το πιο απλό παράδειγμα τέτοιου συνόλου είναι το σύνολο Cantor στην ευθεία.

    Προφανώς σε μπέρδεψε το «μηδενικό εμβαδό».
    Όταν γράφουμε ότι το \gamma([0,1]) έχει εμβαδό μηδέν εννοούμε αυτό ακριβώς που λένε τα σύμβολα. Δηλαδή ότι η ίδια η καμπύλη, σαν σημειοσύνολο, έχει εμβαδό μηδέν (υπάρχουν καμπύλες με θετικό εμβδαδό). Όχι ότι περικλείει μηδενικό εμβαδό.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Ιουλίου 8, 2008 @ 3:29 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: