Προβλήματα Μαθηματικών

Απρίλιος 2, 2008

Ν-οστό

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Michalis Loulakis @ 1:27 πμ

Χωρίζουμε κάθε πλευρά ενός κυρτού τετραπλεύρου σε N ίσα τμήματα και ενώνουμε τα αντίστοιχα σημεία των απέναντι πλευρών ώστε να σχηματιστούν N^2 μικρότερα τετράπλευρα διατεταγμένα σε «γραμμές» και «στήλες». Ονομάζουμε E_{ij} το τετράπλευρο στη «γραμμή» i και «στήλη» j. (1\le i,j \le N.) Δείξτε ότι το συνολικό εμβαδό των τετραπλεύρων E_{ii} ισούται με το 1/N του εμβαδού του αρχικού τετραπλεύρου.

Advertisements

9 Σχόλια »

  1. Αφού κάθε πλευρά χωρίζεται Ν φορές, τότε τα τετράπλευρα που σχηματίζονται στο τέλος αποτελούνται από πλευρές 1/Ν. Αυτό σημαίνει πως το εμβαδόν κάθε τέτοιου τετραπλεύρου θα είναι (1/Ν)*(1/Ν)=1/(Ν*Ν). Το συνολικό εμβαδόν των τετραπλεύρων θα δωθεί από το άθροισμα Ντετραπλεύρων, δηλαδή Ν*1/(Ν*Ν), που τελικά μας δίνει 1/Ν. Αν το έχω κάνει λάθος, σε παρακαλώ, διέγραψε το σχόλιο γιατί δε θέλω να θιχτεί ο εγωισμός μου δημοσίως!!! 😉 Καλό σου βράδυ!

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από thogia — Απρίλιος 2, 2008 @ 2:30 πμ

  2. Σωστό αλλά μόνο για ορθογώνια, όχι για γενικά κυρτά τετράπλευρα.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Απρίλιος 2, 2008 @ 11:32 πμ

  3. Αν ήξερα πως είναι το σύμβολο του ολοκληρώματος στον υπολογιστή, θα σε είχα αφήσει άφωνο!!! Αλλά είναι το μόνο μου πρόβλημα.. Λέμε τώρα.. Χαχα!! Καλό απόγευμα!

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από thogia — Απρίλιος 2, 2008 @ 4:17 μμ

  4. Μπορείς να γράψεις ανάμεσα σε δύο σύμβολα δολλαρίου την εντολή latex \int_{A} f dx για να πάρεις \int_A f dx.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από loulakis — Απρίλιος 2, 2008 @ 5:23 μμ

  5. Υπόδειξη:

    Κάντε πρώτα την περίπτωση N=2.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Απρίλιος 4, 2008 @ 9:29 πμ

  6. Έστω {E} το συνολικό εμβαδόν.
    Επαγωγή:
    Για {N=1} προφανές.
    Για {N=2} αν από ενώσουμε το σημείο που τέμνονται τα δύο τμήματα με τις κορυφές του τετραπλεύρου τότε τα 4 τμήματα αποτελούν και τις διαμέσους στα τρίγωνα που σχηματίζονται. Η διάμεσος σε ένα τρίγωνο, το χωρίζει σε 2 τρίγωνα ίσου εμβαδού και έτσι παίρνουμε το απότελεσμα.

    Yποθέτουμε ότι ισχύει για {N=k-2,k-1}: {\sum_{i=1}^N E_{ii}=(1/N)E}. Λόγω συμμετρίας ισχύει και ότι {\sum_{i=1}^N E_{N+1-i,i}=(1/N)E}.

    Για {N=k} έχουμε:
    {\sum_{i=1}^{N-1}=\frac{1}{N-1}(\sum_{i=1}^{N-1}\sum_{j=1}^{N-1}E_{ij})} και
    {\sum_{i=2}^{N}=\frac{1}{N-1}(\sum_{i=2}^{N}\sum_{j=2}^{N}E_{ij})}

    Προσθέτοντας και χρησιμοποιώντας την υπόθεση:
    {(N-1)\sum_{i=1}^NE_{ii} + \sum_{i=1}^NE_{N-i+1,i} = E}
    Ομοίως
    {\sum_{i=1}^NE_{ii} + (N-1)\sum_{i=1}^NE_{N-i+1,i} = E}
    και έτσι
    {\sum_{i=1}^NE_{ii}=\frac{1}{N} E}

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από zzelle — Απρίλιος 21, 2008 @ 1:14 πμ

  7. Σωστό.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από loulakis — Απρίλιος 21, 2008 @ 2:50 πμ

  8. Μια ερώτηση ακόμη, σχετική με το πρόβλημα αυτό:

    Αν χωρίσουμε δύο απέναντι πλευρές ενός κυρτού τετραπλεύρου σε λόγο {r}, τις άλλες δύο απέναντι πλευρές σε λόγο {s} και ενώσουμε τα νέα σημεία αν δύο απέναντι, τότε τα δύο νέα (εσωτερικά του τετραπλεύρου) ευθύγραμμα τμήματα που σχηματίζονται τέμνονται κατ’ ανάγκη σε λόγους {r} και {s} αντίστοιχα ή όχι;

    Παρατηρείστε ότι η απάντηση σε αυτό το ερώτημα είναι απαραίτητη για να θεωρηθεί η λύση που δόθηκε πλήρης.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Απρίλιος 21, 2008 @ 8:42 πμ

  9. Η παρατήρηση του Μιχάλη είναι βέβαια σωστή. Ο ισχυρισμός μπορεί να δειχθεί σχετικά απλά με αναλυτική γεωμετρία. Αν θεωρήσουμε τις κορυφές του τετραπλεύρου στα σημεία 0,χ,ω,ψ (όπου χ,ψ γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα του επιπέδου), και χωρίσουμε την χ σε λόγο s και την ψ σε λόγo r τότε το εσωτερικό σημείο τομής είναι εύκολο να υπολογίστει και είναι το
    \displaystyle \frac{s\chi+r\psi+rs\omega}{(1+r)(1+s)}.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από loulakis — Μαΐου 13, 2008 @ 10:49 πμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: