Προβλήματα Μαθηματικών

Μαρτίου 31, 2008

Star Wars

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Themis Mitsis @ 11:31 πμ

Ο Luke Skywalker βρίσκεται σε μια κυκλική πισίνα διαμέτρου 20 μέτρων, ακουμπισμένος σε κάποιο σημείο της περιφέρειάς της. Είναι εξαντλημένος και έτσι όταν θέλει να κινηθεί είναι αναγκασμένος να κολυμπάει κολλητά με την περιφέρεια για να μπορεί να κρατιέται. Στο ίδιο σημείο έξω από την πισίνα στέκεται ο Darth Vader με ένα ψηφιακό μετρητή ταχύτητας και ένα όπλο εμβέλειας 19.99 μέτρων. Ο άκαρδος πατέρας θα πυροβολήσει μόλις ο γιος του πάει να βγει από την πισίνα. Όταν ο Luke κινείται (πάντα κατά μήκος της περιφέρειας) ο Vader αμέσως μετράει την ταχύτητά του και τον ακολουθεί «κατά πόδα» έξω από την πισίνα με την ταχύτητα που δείχνει ο μετρητής. Δείξτε ότι ο Luke μπορεί να βγει σώος από την πισίνα (το τί θα κάνει μετά είναι άλλο πρόβλημα). Η Αυτοκρατορία έχει πολύ υψηλή τεχνολογία, αλλά τα ψηφιακά όργανα παραμένουν ψηφιακά σε ολόκληρο το γαλαξία και έχουν ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗ ακρίβεια, ας πούμε 100 δεκαδικά ψηφία.

Advertisements

9 Σχόλια »

  1. Υπόδειξη:

    Η ένδειξη του μετρητή είναι πάντα ρητός αριθμός (ιδιοτροπία των ψηφιακών οργάνων…). Επομένως, με μιγαδικό συμβολισμό, η θέση του Vader είναι
    10e^{irt} όπου r\in\mathbb Q (το t είναι χρόνος). Ο Luke δεν έχει τέτοιο περιορισμό. Η θέση του είναι
    10e^{iat} όπου a\in\mathbb R. Τώρα, υπάρχουν αρκετοί άρρητοι αριθμοί, ας πούμε το 2\pi

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαΐου 21, 2008 @ 10:12 μμ

  2. Εχω την εντύπωση πως δεν πιάνω το νόημα,
    διορθώστε με…

    Ας πούμε ότι ο Darth μετράει την ταχύτητα με ένα
    σφάλμα της τάξης του 10^(-100). Αν λοιπόν ο Luke
    κινείται με ταχύτητα 2π σε χρόνο t διανύει διάστημα
    2πt. Στον ίδιο χρόνο ο Darth έχει διανύσει διάστημα
    ας πούμε (2π-10^(-100))t. Για να βγει ο Luke
    έξω αρκεί να βρεθούν σε αντιδιαμετρικά σημεία δηλαδή να διανύσει παραπάνω
    διάστημα 10π (το μισό του μήκους της περιφέρειας
    της πισίνας). Αρα λύνουμε:
    2πt – (2π-10^(-100))t = 10π
    το οποίο δίνει t = π*10^101

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από xatzial — Ιουλίου 7, 2008 @ 3:46 πμ

  3. Πρόσεξε, μετά από χρόνο t=\pi10^{101}, η θέση του Luke θα είναι:

    x=10e^{i2\pi^210^{101}}.

    Η θέση του Darth θα είναι:

    10e^{i(2\pi-10^{-100})\pi10^{101}}=x,

    δηλαδή θα βρίσκονται στην ίδια θέση.
    Το πρόβλημα όμως δεν είναι στ’ αλήθεια αυτό.
    Το πρόβλημα είναι ότι ο Darth δεν μπορεί να κινηθεί με την ταχύτητα που λες γιατί το 2\pi-10^{-100} είναι άρρητος αριθμός και ο Darth κινείται μόνο με ρητές ταχύτητες.
    Παρ’ όλα αυτά, είσαι στη σωστή κατεύθυνση. Αυτό που πρέπει να δείξεις είναι ότι αν x(t) είναι η θέση του Luke και y(t) η θέση του Darth τότε για κάποιο t το |x(t)-y(t)| μπορεί να γίνει μεγαλύτερο από την εμβέλεια του όπλου.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Ιουλίου 7, 2008 @ 9:09 πμ

  4. Ναι σε καμία περίπτωση δεν ήθελα να πω ότι
    ο Darth κινείται με άρρητη ταχύτητα, αλλά
    ότι κινείται με ρητή ταχύτητα που διαφέρει από
    αυτήν του Luke κατά ένα άρρητο αριθμό
    μικρότερο πχ του 10^(-100).

    Δύο επιπλέον ερωτήματα:

    1) Ο Luke δεν έχει διανύσει παραπάνω
    10π στο χρόνο που προανέφερα ? Το ότι
    βρίσκονται στην ίδια θέση ειναι φανερό από
    την ισότητα των μιγαδικών.

    2) Αν ο Luke κινείται με 1+10^200 τότε ο Darth
    θα μετράει με σφάλμα, ωστόσο ο Luke δεν
    κινείται με άρρητη ταχύτητα. Δεν έχει να κάνει
    λοιπόν με ρητές και άρρητες ταχύτητες ?

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από xatzial — Ιουλίου 7, 2008 @ 2:54 μμ

  5. Δεν αρκεί απλώς να υποθέσεις ότι ο Darth μετράει με κάποια ακρίβεια, γιατί αυτό δεν αποκλείει να «πιάσει» ακριβώς την ταχύτητα του Luke (σφάλμα \delta σημαίνει ότι η ένδειξη του μετρητή είναι το πολύ \pm\delta από την ταχύτητα. Μπορεί να είναι ακριβώς η ταχύτητα). Για να μπορέσεις να εξασφαλίσεις ότι θα κινηθούν με διαφορετικές ταχύτητες, δεδομένου ότι η ένδειξη του μετρητή είναι πάντα ρητός αριθμός, ο Luke πρέπει να κινηθεί με άρρητη ταχύτητα. Modulo αυτό, η λύση σου είναι σωστή: αν η θέση του Luke είναι

    x(t)=10e^{iat}

    με a άρρητο τότε η θέση του Darth

    είναι

    y(t)=10e^{i(a+\varepsilon)t}

    με το \varepsilon κατ’ανάγκη θετικό.
    Έτσι

    |x(t)-y(t)|=10|1-e^{i\varepsilon t}|

    το οποίο μπορεί να γίνει μεγαλύτερο από την εμβέλεια του όπλου για κατάλληλο t.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Ιουλίου 7, 2008 @ 3:38 μμ

  6. Κατανοητό γιατί ο Luke πρέπει να κινείται με
    άρρητη ταχύτητα.

    Μέγιστη τιμή το 20 αν δεν απατώμαι για την
    τελευταία ισότητα που γράψατε. Μετά ο
    Luke μπορεί απλά να βγεί από την πισίνα.

    Συγκεκριμένα είχα βάλει για y(t) το
    10*exp[i*(α-ε)*t] (ε θετικό ) και τότε η μεταξύ
    τους
    απόσταση δίνεται από τη σχέση 20*sin[t*(α-ε/2)].
    Αρκεί λοιπόν να βρούμε τα t για τα οποία
    sin[t*(α-ε/2)] = 1

    Πρέπει να τονίσω ότι σε όλο αυτό το κυνηγητό
    υπέθεσα ότι ο Luke κινείται πάντα πιο γρήγορα
    από την ταχύτητα που μετράει ο Darth.
    Στην αντίθετη περίπτωση ομωs πιστεύω ότι ο
    Luke δε θα μπορέσει να ξεφύγει.
    Αυτό γιατί ο Darth μπορεί να προσπεράσει τον Luke και
    έχει τη δυνατότητα να αλλάξει επιτόπου
    τη φορά με την οποία κινείται όποτε το θελήσει. Το ίδιο θα κάνει
    όμως και ο Luke στην προσπάθεια του να
    απομακρυνθεί. O Darth θα φτάσει και θα
    προσπεράσει πάλι τον Luke, οπότε αύτο
    θα συνεχίζεται επ άπειρον.
    Συνεπώς αν ο Darth μετράει πάντα μεγαλύτερη
    ταχύτητα τότε ο Luke δεν ξεφεύγει ποτέ.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από xatzial — Ιουλίου 7, 2008 @ 4:59 μμ

  7. Βέβαια, Ο Darth κινείται αφού μετρήσει την ταχύτητα
    του Luke. Αρα για να ακριβολογώ, αν ο Luke
    αλλάξει φορά για να μη φαίνεται ότι κυνηγάει
    τον Darth, και με την προυπόθεση ότι κινείται
    πάντα με το ίδιο μέτρο ταχύτητας (για να μετράει
    πάντα με το ίδιο σφάλμα ο Darth), τότε δε μπορεί
    να ξεφύγει.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από xatzial — Ιουλίου 7, 2008 @ 5:11 μμ

  8. Σωστά. Υποθέτουμε ότι και οι δυο κινούνται με σταθερή ταχύτητα και με την ίδια φορά.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Ιουλίου 7, 2008 @ 6:19 μμ

  9. Να σημειώσω επίσης ότι ισχύει το εξής «περίεργο». Υποθέτοντας ότι το παιχνίδι παίζεται «τίμια», δηλαδή δεν αλλάζουν φορά και κινούνται με σταθερή ταχύτητα, αν ο Luke κινείται με γωνιακή ταχύτητα 2\pi, τότε μετά από nμονάδες χρόνου θα βρίσκεται φυσικά στο ίδιο σημείο. O Darth όμως, αν κινείται με οποιαδήποτε ρητή γωνιακή ταχύτητα, για n αρκετά μεγάλα θα βρίσκεται αυθαίρετα κοντά στο αντιδιαμετρικό σημείο. Αυτό οφείλεται στο ότι αν q\in\mathbb Q, τότε η ακολουθία e^{iqn}, n\in\mathbb Z, είναι πυκνή στον κύκλο. Η απόδειξη σχετίζεται με το πρόβλημα «ημίτονα φυσικών», το οποίο ζητάει κάτι ασθενέστερο. Έτσι, κατά κάποιο τρόπο, ό,τι και να κάνει ο Darth, κάποια στιγμή ο Luke θα ξεφύγει από το σημείο που ξεκίνησε.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Ιουλίου 7, 2008 @ 6:40 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: