Προβλήματα Μαθηματικών

Μαρτίου 28, 2008

Συνεκτικότητα

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Themis Mitsis @ 10:44 μμ

Θέτουμε A=\mathbb R^2\smallsetminus\mathbb Q^2, δηλαδή από το επίπεδο αφαιρούμε τα σημεία των οποίων και οι δυο συντεταγμένες είναι ρητοί αριθμοί. Κατ’ αρχάς βεβαιωθείτε ότι κάθε δύο σημεία του A μπορούν να συνδεθούν με μια καμπύλη που βρίσκεται μέσα στο A και στη συνέχεια για κάθε x,y\in A υπολογίστε το infimum των μηκών των καμπύλων που συνδέουν τα x και y.

Advertisements

4 Σχόλια »

  1. Υπόδειξη:

    Λύστε το πρόβλημα στην περίπτωση που το A είναι το επίπεδο εκτός από ένα σημείο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Απρίλιος 7, 2008 @ 7:14 μμ

  2. Δεν είχα δει αυτό το πρόβλημα. Θα χρησιμοποιήσω το μοτίβο της λύσης από το άλλο πρόβλημα «ο διάτρητος χώρος» αλλά θα δείξω και τα δύο ερωτήματα ταυτόχρονα(ότι κάθε δύο σημεία μπορούν να συνδεθούν και ότι το inf είναι η ευκλείδεια απόσταση). Σταθεροποίησε x και y. Πάρε μία μπάλα ακτίνας \frac{\epsilon}{2} γύρω από το y και ένα στοιχείο εκεί μέσα τέτοιο ώστε η ευθεία από το x στο σημείο να είναι μέσα στο A(η απόδειξη ότι γίνεται είναι ίδια με το άλλο πρόβλημα). Φτιάξε μια παραμέτριση της ευθείας αυτής στο {[0,\frac{1}{2}]}.

    Επαγωγικά διαλέγεις μία μπάλα ακτίνας \frac{\epsilon}{2^n} γύρω από το y και ενώνεις το προηγούμενο σημείο με το καινούριο έτσι ώστε να παραμένεις στο Α(και κολλάς την ευθεία στην προηγούμενη με την παραμέτριση

    (\sum^n \frac{1}{2^k}, \sum^{n+1} \frac{1}{2^k})).

    Τελικά θα έχεις μία απεικόνιση από το {[0,1) \to  A} που μπορεί να συνεχιστεί συνεχώς στο 1 με τιμή το y(και εφόσον το . Τι μήκος έχει αυτή η καμπύλη; Το μήκος της φράσσεται από

    ||x-y|| + \epsilon + C\sum_{k=2}^{\infty}\frac{\epsilon}{2^k}\simeq ||x-y|| + D\epsilon

    όπου η σταθερά εμφανίζεται επειδή βαριέμαι να κάνω πράξεις. Επειδή το \epsilon είναι τυχαίο, το inf είναι η ευκλείδεια απόσταση.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από ikonst — Μαΐου 5, 2008 @ 2:46 μμ

  3. Υπάρχει ένα μικρό κενό στο επιχείρημα, δουλεύει αλλά εμπεριέχει μια λεπτομέρεια. Είναι καλύτερο, για να είναι πιο ξεκάθαρη η κατάσταση, τις διαδοχικές μπάλες να μην τις παίρνεις μόνο \frac{eps}{2^n} αλλά να λαμβάνεις υπόψιν και το κάθε επιλεγμένο x_n. Δηλαδή αντί για την παραπάνω ακτίνα παίρνεις min(\frac{eps}{2^n}, ||y-x_n||/2) για να πας πιο γρήγορα στο y. Φαίνεται άμεσα ότι και με τον προηγούμενο ορισμό πας στο y, αλλά αν εξαρχής είχε επιλεγεί ένα πχ x_1 πολύ κοντά στο y, μέχρι το n να γίνει αρκετά μεγάλο ώστε να μικρύνει η μπάλα ώστε το x_1 να είναι απ’έξω, μπορεί να κάνεις άσκοπα βόλτες γύρω από το y.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από ikonst — Μαΐου 5, 2008 @ 4:58 μμ

  4. Αυτή ακριβώς είναι η ιδέα. Το κάνεις όμως πιο περίπλοκο απ’ ότι είναι.
    Όπως λές, πάρε ένα σημείο z_n\in D(y,1/n) τέτοιο ώστε το ευθύγραμμο τμήμα με αρχή x και τέλος z_n να βρίσκεται στο A. Στη συνέχεια, το ίδιο επιχείρημα σου δείχνει ότι υπάρχει ένα σημείο w_n\in[x,z_n]\cap D(y,1/n) τέτοιο ώστε το ευθύγραμμο τμήμα με αρχή w_n και τέλος y να βρίσκεται στο A. Η ζητούμενη καμπύλη είναι η πολυγωνική γραμμή με κορυφές τα τρία σημεία x,w_n,y. Tο μήκος της τείνει στο |x-y| καθώς το n τείνει στο \infty.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαΐου 5, 2008 @ 5:45 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: