Προβλήματα Μαθηματικών

Μαρτίου 26, 2008

Όρια ορίων και η χαρακτηριστική των ρητών

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Themis Mitsis @ 1:27 μμ

Βρείτε απείρως παραγωγίσιμες συναρτήσεις f_{n,m}:\mathbb R\to\mathbb R, m,n\in\mathbb N, τέτοιες ώστε

\displaystyle\lim_{m\to\infty}\left[\lim_{n\to\infty}f_{n,m}(t)\right]=\chi_{\mathbb Q}(t),\quad\forall t\in\mathbb R,

όπου \chi_{\mathbb Q} είναι η χαρακτηριστική συνάρτηση του \mathbb Q, δηλαδή παίρνει την τιμή 1 σε κάθε ρητό και την τιμή 0 σε κάθε άρρητο. Τα διαδοχικά όρια δεν εμφανίζονται από «βίτσιο». Δεν υπάρχει ακολουθία συνεχών συναρτήσεων η οποία να συγκλίνει κατά σημείο στην \chi_{\mathbb Q}. Αυτό είναι άμεσο πόρισμα του Θεωρήματος xyz το οποίο μάλλον δεν το έχετε συναντήσει στις προπτυχιακές σας σπουδές, έτσι δεν έχει νόημα να το αναφέρω. Δεν έχω σκεφτεί αν υπάρχει κάποια στοιχειώδης απόδειξη. Το ότι δεν υπάρχει ακολουθία συνεχών συναρτήσεων η οποία να συγκλίνει ομοιόμορφα στην \chi_{\mathbb Q} είναι, φυσικά, προφανές

Advertisements

3 Σχόλια »

  1. Υπόδειξη:
    Αυτό που έχω κατά νου είναι το εξής.
    f_{n,m}(t)=(\cos(?))^{2n}.
    Βρείτε το ? και αιτιολογήστε γιατί δουλεύει.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαΐου 2, 2008 @ 5:31 μμ

  2. Μια επιλογή που σκέφτομαι είναι η ? = \pi t m!. Το μέσα όριο είναι μια χαρακτηριστική ενός συνόλου ρητών που περιέχει όλους τους ρητούς με παρονομαστή μέχρι και $m$, οπότε το εξωτερικό όριο πιάνει όλους τους ρητούς(φυσικά για κάθε άρρητο το μέσα όριο είναι μηδέν, οπότε και το έξω όριο θα είναι μηδέν).

    Κανένα link για αυτό το xyz θεώρημα;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από ikonst — Μαΐου 5, 2008 @ 5:24 μμ

  3. Πολύ σωστά.
    Το θεώρημα xyz είναι το θεώρημα κατηγορίας του Baire. Ένα πόρισμα του θεωρήματος αυτού είναι ότι (σε πλήρεις χώρους) αν μια ακολουθία συνεχών συναρτήσεων συγκλίνει κατά σημείο σε κάποια f, τότε η f είναι συνεχής σε ένα πυκνό G_\delta σύνολο, ιδιαίτερα η f αποκλείεται να είναι παντού ασυνεχής, όπως η χαρακτηριστική των ρητών. Με άλλα λόγια, το κατά σημείο όριο μιας ακολουθίας συνεχών συναρτήσεων
    δεν μπορεί να είναι «πολύ ασυνεχής» συνάρτηση.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαΐου 5, 2008 @ 6:00 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: