Προβλήματα Μαθηματικών

Μαρτίου 26, 2008

Πρόβλημα κάλυψης με διαστήματα

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Mihalis Kolountzakis @ 12:58 πμ

Δίνεται μια ακολουθία διαστημάτων I_j = (a_j, b_j), j=1,2,\cdots, και έστω

\displaystyle U = \bigcup_{j=1}^\infty I_j.

Υποθέστε επίσης ότι η ακολουθία b_j - a_j συγκλίνει στο 0 κατά φθίνοντα τρόπο.
Δείξτε ότι μπορεί κανείς να επιλέξει μια υπακολουθία από τα I_j που να είναι ξένα ανά δύο και που αν κανείς τα τριπλασιάσει (κρατήσει δηλ.\ το κέντρο ενός διαστήματος το ίδιο και τριπλασιάσει το μήκος του) καλύπτουν το U.

Advertisements

3 Σχόλια »

  1. Υπόδειξη:

    Κρατείστε το I_1 (το μεγαλύτερο) και πετάξτε, αναγκαστικά, όσα το τέμνουν.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Απρίλιος 8, 2008 @ 12:58 πμ

  2. Έστω I_{n_1},I_{n_2},...,I_{n_k},... όλα τα διαστήματα που τέμνουν το I_1.
    Έστω επίσης I_{n_i} ένα τυχαίο από αυτά τα διαστήματα.

    Επειδή το I_{n_i} τέμνει το I_1 θα ισχύει
    a_1<b_{n_i} (1) και
    a_{n_i}<b_1 (2).

    Επίσης το I_1 είναι το διάστημα με το μεγαλύτερο μήκος άρα ισχύει b_{n_i}-a_{n_i}<b_1-a_1 (3).

    Από (1) και (3) προκύπτει ότι 2a_1-b_1<a_{n_i} και από (2) και (3) προκύπτει b_{n_i}<2b_1-a_1, όμως τα 2a_1-b_1 και 2b_1-a_1 είναι τα άκρα του τριπλάσιου του I_1 έτσι όπως το έχουμε ορίσει άρα το τυχαίο I_{n_i} είναι υποσύνολο του (2a_1-b_1,2b_1-a_1) και συνεπώς το τριπλάσιο του I_1 καλύπτει την ένωση των I_{n_1},I_{n_2},...,I_{n_k},... ,άρα μπορούμε να τα «πετάξουμε» και να πάρουμε σαν πρώτο όρο της ζητούμενης υπακολουθίας το I_1.

    Αν δεν υπάρχουν άλλα διαστήματα έχουμε τελειώσει. Αν υπάρχουν τότε αναγόμαστε πάλι στην αρχική περίπτωση έχοντας σαν ένωση την ένωση των διαστημάτων που έχουν μείνει (τα οποία είναι όλα ξένα με το I_1), οπότε πέρνουμε σαν δεύτερο όρο της ζητούμενης υπακολουθίας το διάστημα με το μεγαλύτερο μήκος από αυτά που έμειναν,κλπ. Συνεχίζοντας με αυτόν τον τρόπο κατασκευάζουμε την ζητούμενη υπακολουθία.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από steliosdes — Μαΐου 2, 2008 @ 9:14 μμ

  3. Σωστά.

    Το ουσιαστικό στο πρόβλημα αυτό είναι η εξής ιδιότητα που έχουν τα διαστήματα: αν δύο διαστήματα τέμνονται τότε το μικρότερο από τα δύο περιέχεται στο «τριπλάσιο» του μεγαλύτερου (τριπλάσιο ενός διαστήματος = ίδιο κέντρο, τριπλάσιο μήκος).

    Με την ίδια απόδειξη λοιπόν μπορεί κανείς να δείξει την ίδια πρόταση στο επίπεδο, όπου στη θέση των διαστημάτων μπορεί κανείς να πάρει τετράγωνα ή δίσκους.

    Παρατηρείστε όμως ότι δεν ισχύει αυτή η ιδιότητα αν κανείς πάρει ορθογώνια και όχι τετράγωνα (όπου δηλ. επιτρέπεται ο λόγος των δύο διαστάσεων των ορθογωνίων να είναι οτιδήποτε).

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Μαΐου 3, 2008 @ 9:05 πμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: