Προβλήματα Μαθηματικών

26 Μαρτίου, 2008

Όρια ορίων και η χαρακτηριστική των ρητών

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Themis Mitsis @ 1:27 μμ

Βρείτε απείρως παραγωγίσιμες συναρτήσεις f_{n,m}:\mathbb R\to\mathbb R, m,n\in\mathbb N, τέτοιες ώστε

\displaystyle\lim_{m\to\infty}\left[\lim_{n\to\infty}f_{n,m}(t)\right]=\chi_{\mathbb Q}(t),\quad\forall t\in\mathbb R,

όπου \chi_{\mathbb Q} είναι η χαρακτηριστική συνάρτηση του \mathbb Q, δηλαδή παίρνει την τιμή 1 σε κάθε ρητό και την τιμή 0 σε κάθε άρρητο. Τα διαδοχικά όρια δεν εμφανίζονται από «βίτσιο». Δεν υπάρχει ακολουθία συνεχών συναρτήσεων η οποία να συγκλίνει κατά σημείο στην \chi_{\mathbb Q}. Αυτό είναι άμεσο πόρισμα του Θεωρήματος xyz το οποίο μάλλον δεν το έχετε συναντήσει στις προπτυχιακές σας σπουδές, έτσι δεν έχει νόημα να το αναφέρω. Δεν έχω σκεφτεί αν υπάρχει κάποια στοιχειώδης απόδειξη. Το ότι δεν υπάρχει ακολουθία συνεχών συναρτήσεων η οποία να συγκλίνει ομοιόμορφα στην \chi_{\mathbb Q} είναι, φυσικά, προφανές

Πρόβλημα κάλυψης με διαστήματα

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Mihalis Kolountzakis @ 12:58 πμ

Δίνεται μια ακολουθία διαστημάτων I_j = (a_j, b_j), j=1,2,\cdots, και έστω

\displaystyle U = \bigcup_{j=1}^\infty I_j.

Υποθέστε επίσης ότι η ακολουθία b_j - a_j συγκλίνει στο 0 κατά φθίνοντα τρόπο.
Δείξτε ότι μπορεί κανείς να επιλέξει μια υπακολουθία από τα I_j που να είναι ξένα ανά δύο και που αν κανείς τα τριπλασιάσει (κρατήσει δηλ.\ το κέντρο ενός διαστήματος το ίδιο και τριπλασιάσει το μήκος του) καλύπτουν το U.

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: