Προβλήματα Μαθηματικών

Μαρτίου 25, 2008

Τροχιά ακολουθίας

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 8:28 μμ

plot1

 

Στο παραπάνω σχήμα φαίνονται οι 31 πρώτοι όροι της μιγαδικής ακολουθίας

\displaystyle ne^{2\pi ien!},\quad n=0,1,2,\dots

Αποδείξτε την ασυμπτωτική συμπεριφορά που υποδεικνύει η εικόνα. Τώρα, για να κάνετε μια οπτική επαλήθευση, βάζετε τον υπολογιστή να ζωγραφίσει τους 100 πρώτους όρους της ακολουθίας, και αυτός σας δίνει το παρακάτω !!

 

plot2.jpg

Εδώ η κατάσταση δείχνει χαοτική. Αυτό που μοιάζει με καμπύλη περιέχει τους 31 όρους του πρώτου σχήματος (σε άλλη κλίμακα). Τί ακριβώς πάει στραβά;

Advertisements

2 Σχόλια »

  1. n! e =
    = n! Σ_{k=0}^{oo} 1/k! =
    = n! Σ_{k=0}^{n} 1/k! + n! Σ_{k=n+1}^{oo} 1/k!

    O πρώτος όρος είναι ακέραιος. Ο δεύτερος δεν είναι, και έχει τη μορφή του αθροίσματος απείρων όρων:

    1/(n+1) + 1/(n+1)(n+2) + …
    για μεγάλα n ο πρώτος όρος είναι πολύ μεγαλύτερος απο τους υπόλοιπους.

    Ο μιγαδικός ne^{2πien!} έχει μέτρο n και φάση 2πen!. Το ακέραιο μέρος του en!, απλά προσθέτει στη φάση πλήρεις κύκλους, οπότε η συνεισφορά του μπορεί να αγνοηθεί. Ετσι η φάση του μιγαδικού δίνεται τελικά απο το δεκαδικό μέρος του en! το οποίο για μεγάλα n είναι σε πρώτη προσέγγιση και σύμφωνα με τα προηγούμενα ίσο με 1/(n+1)

    Οπότε για μεγάλα n, ne^{2πien!} ->
    n cos(2π/(n+1)) + in sin(2π/(n+1)) ->
    n + i 2πn/(n+1) -> n + i2π

    Αυτή είναι και η ασυμπτωτική συμπεριφορά της πρώτης εικόνας.

    Αν ο υπολογιστής είχε απειρη ακρίβεια στις πράξεις, δεν θα υπήρχε πρόβλημα με κανέναν όρο της ακολουθίας.

    Στην πράξη όμως, πχ. για n=32, το πλήθος των σημαντικών ψηφίων του 32! είναι 29, ενώ η συνεισφορά του όρου 1/(32+1)! ξεκινά από το 37 δεκαδικό του e.

    Αν ο υπολογιστής δεν μπορεί να κρατήσει στη μνήμη του τους αριθμούς αυτούς με ακρίβεια τόσων ψηφίων όσων στο παράδειγμα μας, τότε το δεκαδικό μέρος της φάσης προσεγγίζεται λάθος και η υπολογιστική αναπαράσταση της ακολουθίας δεν είναι ακριβής.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από yioryos — Μαρτίου 26, 2008 @ 2:32 πμ

  2. Πολύ σωστά.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαρτίου 26, 2008 @ 10:40 πμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: