Προβλήματα Μαθηματικών

Μαρτίου 25, 2008

Πόσο αρνητικό πρέπει να γίνει ένα άθροισμα συνημιτόνων

Έστω \lambda_1, \ldots, \lambda_N \in {\mathbf N} και υποθέστε ότι a, \epsilon>0, είναι τέτοια ώστε

\lambda_1, \ldots, \lambda_N \in ((1+\epsilon) a, 2 (1-\epsilon) a).

Ορίστε

f(x) = \sum_{j=1}^N \cos(\lambda_j x).

Δείξτε ότι υπάρχει συνάρτηση A(\epsilon)>0 τέτοια ώστε

\min_{x \in {\mathbf R}} f(x) \le -A(\epsilon) N.

Advertisements

3 Σχόλια »

  1. Υπόδειξη:

    Υπήρχε τυπογραφικό λάθος στην εκφώνηση (το 2 ήταν 3, στο δεξί άκρο του διαστήματος όπου ανήκουν τα \lambda_j).

    Υποογίστε τη συνάρτηση f(x) για x=\frac{\pi}{a}-\delta για κατάλληλο \delta=\delta(\epsilon).

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Μαΐου 20, 2008 @ 4:44 μμ

  2. Νομίζω ότι και με το 3 δουλεύει. Ας κάνω μια προσπάθεια και αν είναι λάθος με διορθώνετε.

    Θεωρούμε τα διαστήματα I_j(\varepsilon) = {}[\lambda_j^{-1}(1+\varepsilon)\frac{\pi}{2},\lambda_j^{-1}(1-\varepsilon)\frac{3\pi}{2}]. Θεωρούμε το διάστημα I(\varepsilon)=\bigcap_{j=1}^N I_j(\varepsilon). (Αυτό είναι διάστημα διότι ισχύει \lambda_N^{-1}(1-\varepsilon)\frac{3\pi}{2}>\lambda_1^{-1}(1+\varepsilon)\frac{\pi}{2}). Έτσι, αν x\in I(\varepsilon) τότε \lambda_jx\in {}[(1+\varepsilon)\frac{\pi}{2},(1-\varepsilon)\frac{3\pi}{2}] για κάθε j=1,\ldots,N και \cos(\lambda_j x) \le -\sin(\pi\varepsilon/2) < -\varepsilon από την ανισότητα του Jordan.

    Άρα, \min_{x\in I}f(x)\leq -N\varepsilon.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από petvalet — Μαΐου 30, 2008 @ 10:45 μμ

  3. Πολύ σωστά. Ίσχυε τελικά και με 3 αλλά μπλέχτηκα.

    Μερικά γύρω από αυτό το πρόβλημα: είναι μια παλιά εικασία του S. Chowla (cosine problem) ότι το min πρέπει αναγκαστικά να κατεβαίνει κάτω από -C \sqrt{N} (όπου C>0 μια απόλυτη σταθερά).

    Τα μέχρι τώρα αποτελέσματα, παρ’ ότι έχουν δουλέψει σε αυτό το πρόβλημα πολλοί εξαιρετικοί μαθηματικοί (π.χ. Klaus Roth, Jean Bourgain, Imre Ruzsa) απέχουν πάρα πολύ από την εικασία αυτή.

    Από την άλλη μεριά υπάρχουν ακέραιες συχνότητες 0< \lambda_1 < \cdots \lambda_N ώστε το min να είναι της τάξης του \sqrt{N}, να ισχύει δηλ. για κάποια σταθερά C>0

    C\sqrt{N} + \sum_{j=1}^N \cos\lambda_jx \ge 0.

    Βρείτε τέτοιες συχνότητες!

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Μαΐου 30, 2008 @ 11:20 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: