Προβλήματα Μαθηματικών

25 Μαρτίου, 2008

Τροχιά ακολουθίας

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 8:28 μμ

plot1

 

Στο παραπάνω σχήμα φαίνονται οι 31 πρώτοι όροι της μιγαδικής ακολουθίας

\displaystyle ne^{2\pi ien!},\quad n=0,1,2,\dots

Αποδείξτε την ασυμπτωτική συμπεριφορά που υποδεικνύει η εικόνα. Τώρα, για να κάνετε μια οπτική επαλήθευση, βάζετε τον υπολογιστή να ζωγραφίσει τους 100 πρώτους όρους της ακολουθίας, και αυτός σας δίνει το παρακάτω !!

 

plot2.jpg

Εδώ η κατάσταση δείχνει χαοτική. Αυτό που μοιάζει με καμπύλη περιέχει τους 31 όρους του πρώτου σχήματος (σε άλλη κλίμακα). Τί ακριβώς πάει στραβά;

Ώρα σε Λονδίνο, Νέα Υόρκη, Ζυρίχη, Τόκυο …

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Mihalis Kolountzakis @ 4:16 μμ

(α) Πάνω σε ένα τραπέζι βρίσκονται τοποθετημένα 100 ρολόγια. Τα ρολόγια έχουν όλα την ίδια περίοδο, είναι στρογγυλά με λεπτοδείκτη, μπορούν όμως να είναι τοποθετημένα
πάνω στο τραπέζι με οποιοδήποτε τρόπο. Επίσης οι διάμετροι των ρολογιών μπορούν να είναι διαφορετικές.
Δείξτε ότι κάποια χρονική στιγμή το άθροισμα των αποστάσεων του κέντρου Ο του τραπεζιού από τα κέντρα των ρολογιών θα είναι μικρότερο ή ίσο από το άθροισμα των αποστάσεων του Ο από τα άκρα των λεπτοδεικτών.

(β) Αν παραλείψουμε την υπόθεση ότι τα ρολόγια έχουν όλα την ίδια περίοδο, δείξτε ότι κάποια χρονική στιγμή το άθροισμα των αποστάσεων του Ο από τα άκρα των λεπτοδεικτών θα είναι μεγαλύτερο ή ίσο από 0.9 φορές το άθροισμα των αποστάσεων
του Ο από τα κέντρα των ρολογιών.

Περιφερειακός

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 4:13 μμ

Πάνω σε έναν κυκλικό αυτοκινητόδρομο υπάρχουν n σταθμοί ανεφοδιασμού.
Η συνολική ποσότητα βενζίνης που έχουν οι n σταθμοί είναι αρκετή ώστε ένα
αυτοκίνητο να μπορεί να διαγράψει όλη την διαδρομή (δηλαδή έναν πλήρη κύκλο)
με αυτήν. Θεωρούμε οτι το αυτοκίνητο μπορεί να αποθηκεύσει απεριόριστη
ποσότητα βενζίνης. Δείξτε οτι υπάρχει κάποιος από τους n σταθμούς
ανεφοδιασμού, τέτοιος ώστε αν το αυτοκίνητο ξεκινήσει από αυτόν θα μπορεί να
επιστρέψει σε αυτόν (κινούμενο πάντα προς την ίδια κατεύθυνση).

Πόσο αρνητικό πρέπει να γίνει ένα άθροισμα συνημιτόνων

Έστω \lambda_1, \ldots, \lambda_N \in {\mathbf N} και υποθέστε ότι a, \epsilon>0, είναι τέτοια ώστε

\lambda_1, \ldots, \lambda_N \in ((1+\epsilon) a, 2 (1-\epsilon) a).

Ορίστε

f(x) = \sum_{j=1}^N \cos(\lambda_j x).

Δείξτε ότι υπάρχει συνάρτηση A(\epsilon)>0 τέτοια ώστε

\min_{x \in {\mathbf R}} f(x) \le -A(\epsilon) N.

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: