Προβλήματα Μαθηματικών

Μαρτίου 24, 2008

Αθροίσματα και ολοκληρώματα

Ας ονομάσουμε μια συνάρτηση «στοιχειώδη» αν είναι πεπερασμένος συνδυασμός δυνάμεων, εκθετικών, λογαριθμικών ή τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Για παράδειγμα οι
\displaystyle 2^{\sin x},\quad \frac{\ln x}{1+x^2}
είναι στοιχειώδεις. Βρείτε μια στοιχειώδη συνάρτηση f:[0,\infty)\to\mathbb R τέτοια ώστε:
\displaystyle\sum_{n=1}^\infty f(n)=\int_0^1f(x)\, dx.
Advertisements

5 Σχόλια »

  1. sin(2*pi*x)

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από ctzamos — Μαρτίου 25, 2008 @ 12:47 πμ

  2. Σωστα. Μπορείς να βρεις κάποια συνάρτηση για την οποία η απάντηση δεν είναι μηδέν?

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαρτίου 25, 2008 @ 10:39 πμ

  3. Μια τέτοια συνάρτηση είναι η f(x)=α^(-x), με α=2.536591.. λύση της α+1/α = 2+lnα

    Για την f(x) = α^(-x), a>1 ισχύουν:

    Α) Sum[f(n), {n,1,oo}] = 1/α + 1/α^2 + … = 1/(α-1)

    Β) Int[f(x), {x,0,1}] = (α-1)/(α lnα)

    και αν θέλουμε άθροισμα και ολοκλήρωμα να είναι ίσα πρέπει α + 1/α = 2 + lnα και η τιμή τους είναι 0.650791..

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από yioryos — Μαρτίου 25, 2008 @ 12:34 μμ

  4. Και αυτό είναι σωστό. Επομένως επιτρέψτε μου να σας ζορίσω περισσότερο. Βρείτε μια συνάρτηση της οποίας ο τύπος δεν περιέχει καμία «περίεργη» σταθερά…

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαρτίου 25, 2008 @ 2:14 μμ

  5. Ένα εντυπωσιακό, οπτικά, παράδειγμα είναι το εξής:
    \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^n}=\int_0^1\frac{dx}{x^x}.
    Μπορείτε να το αποδείξετε;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Αύγουστος 11, 2008 @ 4:35 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: