Προβλήματα Μαθηματικών

12 Μαρτίου, 2008

Τύπος για Εμβαδό Πολυγώνου

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 8:08 μμ

Η παρακάτω είναι μια πραγματικά χρήσιμη άσκηση.

Ένα πολύγωνο P του επιπέδου περιγράφεται μέσω της ακολουθίας των κορυφών του

(x_0, y_0), \ldots, (x_{N-1}, y_{N-1}),

όπου κάθε κορυφή i συνδέεται με τις i\pm 1 \bmod N.

Βρείτε ένα τύπο για το εμβαδό του P μέσω των x_i, y_i, i=0,\ldots,N-1.

Κατόπιν βρείτε κι ένα τύπο για το κέντρο βάρους του πολυγώνου (όχι των κορυφών του).

Στρατηγική απελευθέρωσης

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Mihalis Kolountzakis @ 10:08 πμ

Σε μια φυλακή υπάρχουν 2n βαρυποινίτες (n μεγάλο).
Ο διευθυντής της φυλακής αποφασίζει να παίξει ένα σκληρό παιχνίδι μαζί τους:

Σ’ ένα δωμάτιο μέσα υπάρχουν 2n κλειστά κουτιά και μέσα στα κουτιά υπάρχουν τα ονόματα των 2n κρατουμένων, ένα όνομα σε κάθε κουτί, σε θέσεις που είναι άγνωστες στους κρατουμένους. Οι κρατούμενοι μπαίνουν ένας-ένας μέσα στο δωμάτιο, μόνοι τους, και ανοίγουν n κουτιά, τα οποία επιλέγουν αυτοί. Αν μέσα στα n αυτά κουτιά υπάρχει το όνομα του κρατουμένου που τα ανοίγει τότε αυτός, αφού ξανακλείσει όλα τα κουτιά χωρίς να πειράξει τα περιεχόμενά τους, βγαίνει έξω και μπαίνει ο επόμενος.

Αν βγει έξω και ο τελευταίος τότε όλοι οι κρατούμενοι απελευθερώνονται.

Αν όχι τότε το παιχνίδι σταματάει και όλοι οι κρατούμενοι εκτελούνται.

Οι κρατούμενοι μπορούν να συννενοηθούν για το ποια στρατηγική θα ακολουθήσουν πριν αρχίσει το παιχνίδι αλλά απαγορεύεται να ανταλλάξουν οποιαδήποτε πληροφορία αφού αρχίσει το παιχνίδι.

Είναι φανερό ότι αν κάθε κρατούμενος μπει μέσα και ανοίξει n κουτιά στην τύχη τότε η πιθανότητα να βρεί το δικό του όνομα είναι 1/2, άρα η πιθανότητα να επιζήσουν οι κρατούμενοι, αν παίζουν με αυτό τον τρόπο, είναι 2^{-n}, που πηγαίνει στο 0 απελπιστικά γρήγορα.

Δείξτε ότι οι κρατούμενοι μπορούν να επιλέξουν να παίξουν με μια στρατηγική που τους εγγυάται πιθανότητα επιβίωσης η οποία δε συγκλίνει στο 0 με το n \to \infty.

Πλήθος λέξεων από 0 και 1

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 10:08 πμ

Έστω f:{\mathbf Z}\to\{0,1\} και n\ge 1 φυσικός αριθμός τ.ώ. το πλήθος των λέξεων

f(x) f(x+1) \cdots f(x+n-1),\ \ \ x \in {\mathbf Z},

είναι \le n.
Δείξτε ότι η συνάρτηση f είναι περιοδική, ότι υπάρχει δηλαδή ακέραιος T\neq 0 ώστε
f(x+T) = f(x), για κάθε x\in {\mathbf Z}.

Κάλυψη ευθείας

Filed under: Άλυτα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Mihalis Kolountzakis @ 9:51 πμ

Έστω \epsilon>0 και

A = {\bf Z}+(-\epsilon,\epsilon) = \bigcup_{n \in {\bf Z}} (n-\epsilon, n+\epsilon).

Υπάρχει πεπερασμένο σύνολο \Lambda=\{\lambda_1,\ldots,\lambda_k\} από θετικούς αριθμούς τέτοιο ώστε

{\bf R} \subset \bigcup_{j=1}^k \lambda_j A;

Συμβολίζουμε εδώ \lambda A = \{\lambda a: a \in A\}.

Μια στήλη από τούβλα

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Mihalis Kolountzakis @ 9:43 πμ

Σας δίνεται ένα άπειρο πλήθος από ίδια ορθογώνια τούβλα, διαστάσεων 30 \times 10 \times 10 cm.
Δείξτε ότι μπορείτε να φτιάξετε μία στήλη από αυτά η οποία

  1. να ισορροπεί,
  2. να έχει ένα τούβλο σε κάθε οριζόντιο επίπεδο και
  3. προβαλλόμενη κατακόρυφα κάτω να φτάνει 100 m μακριά.

Προσπαθείστε να δώσετε μια λύση χωρίς πράξεις, στηριζόμενοι σε «φυσικά» επιχειρήματα.

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: