Παίζετε μ’ ένα φίλο σας το ακόλουθο παιχνίδι. Επιλέγετε εναλλάξ έναν από τους αριθμούς 1,2,3,…,9 και νικητής είναι όποιος σχηματίσει πρώτος άθροισμα 15 με τρεις αριθμούς που έχει επιλέξει. Όταν ένας αριθμός έχει επιλεγεί από κάποιον παίκτη δεν μπορεί να επιλεγεί ξανά. Υπάρχει στρατηγική νίκης για όποιον παίζει πρώτος;

Ας είναι ένας πεπερασμένος μετρικός χώρος. Αυτό σημαίνει ότι για κάθε δύο σημεία έχει οριστεί μια θετική “απόσταση” ανάμεσά τους, και οι αποστάσεις αυτές πληρούν την τριγωνική ανισότητα

, για κάθε .

Κατασκευάστε μια 1-1 συνάρτηση τέτοια ώστε για κάθε να ισχύει

όπου , για .

Είναι εύκολο να δει κανείς (γιατί;) ότι οποιοδήποτε πολυώνυμο σε μια μεταβλητή με πραγματικούς συντελεστές είναι μη αρνητικό για κάθε γράφεται αναγκαστικά σα άθροισμα τετραγώνων πολυωνύμων

, με .

Άρα το να γράφεται ένα πολυώνυμο μιας μεταβλητής σα άθροισμα τετραγώνων είναι ισοδύναμο με το να είναι πάντα μη αρνητικό.

Έστω . Δείξτε ότι το είναι πάντα μη αρνητικό αλλά δε μπορεί να γραφεί σα άθροισμα τετραγώνων πολυωνύμων σε . Άρα η παραπάνω ισοδυναμία δεν ισχύει παρά μόνο για πολυώνυμα μιας μεταβλητής.

Επιλέγουμε τυχαία ένα σημείο στην επιφάνεια της σφαίρας του με κέντρο το 0 και ακτίνα . Αν είναι η πιθανότητα η πρώτη συντεταγμένη του σημείου να είναι στο διάστημα δείξτε ότι

Ξεκινείστε με το σύνολο αριθμών και σε κάθε βήμα επιλέξτε δύο αριθμούς από το σύνολό σας, έστω τους , και αντικαταστείστε τους στο σύνολό σας με τον ένα αριθμό .

Δείξτε ότι με όποια σειρά και αν επιλέξετε να το κάνετε αυτό μετά από 99 βήματα θα σας έχει μείνει πάντα ο ίδιος αριθμός στο σύνολό σας.

Στις κορυφές ενός τετραγώνου βρίσκονται 4 κέρματα (τα κέντρα τους στις κορυφές). Κάθε χρονική στιγμή μπορούμε να κάνουμε ένα κέρμα να πηδήσει πάνω από ένα άλλο: το πρώτο κέρμα φεύγει από τη θέση του και πηγαίνει στη συμμετρική του θέση ως προς το άλλο (το άλλο δεν κουνάει).

Μπορούμε με μια ακολουθία από τέτοια πηδήματα να φέρουμε τα κέρματα στις κορυφές ενός μεγαλύτερου τετραγώνου;

Τρείς φίλοι ξεκινούν έχοντας ένα (ακέραιο, θετικό) χρηματικό ποσό ο καθένας.

Σε κάθε βήμα δύο από αυτούς μπορούν να τροποποιούν τα ποσά που έχουν ως εξής:

αν είναι τα δύο ποσά τότε αυτός που έχει τα περισσότερα δίνει στον άλλο όσα έχει ο άλλος. Τα δύο ποσά γίνονται δηλ. και .

Δείξτε ότι είναι πάντα δυνατό να κάνουν αυτές τις αλλαγές με τέτοιο τρόπο ώστε κάποιος από τους τρεις να καταλήξει χωρίς καθόλου χρήματα.

Υπάρχει υπακολουθία τής η οποία να συγκλίνει στο ;

Έχουμε ένα πίνακα με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς. Σας επιτρέπεται σε κάθε βήμα να πολλαπλασιάζετε κάθε γραμμή ή στήλη του πίνακα με -1 (να αλλάζετε δηλ. όλα τα πρόσημα σε αυτή τη γραμμή ή στήλη). Δείξτε ότι μπορείτε με αυτό τον τρόπο να πετύχετε κάθε γραμμή και κάθε στήλη του πίνακα να έχει άθροισμα .

Δίνουμε σε κάθε φυσικό αριθμό ένα χρώμα- μπλε ή πράσινο ως εξής: αρχικά όλοι οι αριθμοί είναι μπλε. Aλλάζουμε χρώμα στους αριθμούς της μορφής . Στη συνέχεια αλλάζουμε χρώμα στους αριθμούς της μορφής , έπειτα στους αριθμούς της μορφής κ.ο.κ. Ποιών αριθμών το χρώμα θα είναι τελικά μπλε;