Έστω σύνολο στο επίπεδο. Ένα διάνυσμα ονομάζεται περίοδος του αν , αν δηλ. το απεικονίζεται επί του εαυτού του αν το μεταφέρουμε κατά . Ένα σύνολο το ονομάζουμε περιοδικό αν έχει δύο γραμμικώς ανεξάρτητες περιόδους.

Ας είναι ένα σύνολο του επιπέδου που τα στοιχεία του απέχουν ανά δύο τουλάχιστον , μια θετική σταθερά (τέτοια σύνολα τα ονομάζουμε καμιά φορά ομοιόμορφα διακριτά). Αν το είναι περιοδικό δείξτε ότι δε μπορεί να είναι αναλλοίωτο μετά από στροφή κατά γύρω από την αρχή των αξόνων.

Δείξτε ότι το σύνολο των αόρατων ακέραιων σημείων του επιπέδου περιέχει οσοδήποτε μεγάλα κομμάτια, περιέχει δηλ., για κάθε ένα σύνολο της μορφής

για κατάλληλα επιλεγμένα ακέραια .

, με

ονομάζουμε την ποσότητα συνολικό εκθέτη του γινομένου.

Δείξτε ότι υπάρχει ένας φυσικός αριθμός τέτοιος ώστε κάθε γινόμενο των πινάκων όπως παραπάνω μπορεί να γραφεί σα γραμμικός συνδυασμός τέτοιων γινομένων που το κάθε ένα τους έχει συνολικό εκθέτη το πολύ .

Είναι οι προσθετικές ομάδες και ισόμορφες ή όχι; Οι και ;

Σ’ ένα από τα μεγάλα και φημισμένα πανεπιστήμια της Αμερικής υπήρχε κάποτε ένας μεταπτυχιακός φοιτητής που έκανε το διδακτορικό του στον τομέα της Ανάλυσης. Πιο συγκεκριμένα, το θέμα στο οποίο δούλευε ήταν μια γενίκευση των συναρτήσεων Lipschitz.

Μια συνάρτηση ορισμένη πάνω σ’ ένα διάστημα λέγεται Lipschitz αν υπάρχει μια σταθερά τέτοια ώστε

, για κάθε .

Π.χ. αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη παντού και για κάθε , τότε είναι Lipschitz, ως απλή εφαρμογή του Θεωρήματος Μέσης Τιμής.

Αν, για κάποιο , ισχύει η ανισότητα

, για κάθε ,

τότε η συνάρτηση λέγεται ότι είναι τύπου Lipschitz(). Π.χ. η συνάρτηση είναι Lipschitz() στο διάστημα , όπως μπορεί κανείς εύκολα να δείξει.

Ο φοιτητής μας λοιπόν είχε αποφασίσει να μελετήσει και συναρτήσεις τύπου Lipschitz() αλλά για , μια κλάση συναρτήσεων που δεν είχε μελετηθεί ως τότε, σε αντίθεση με την περίπτωση . Υποθέτοντας λοιπόν ότι μια συνάρτηση είχε αυτή την ιδιότητα απεδείκνυε μετά ένα σωρό ιδιότητες για την , ιδιότητες αρκετά ισχυρές που καθιστούσαν έτσι αυτή την κλάση συναρτήσεων πολύ ενδιαφέρουσα.

Όμως, μερικές μέρες πριν παρουσιάσει το διδακτορικό του, και μετά από κάποιες συζητήσεις που είχε (αυτός κι ο καθηγητής του) με ένα νεοαφιχθέντα καθηγητή του Τμήματός του, το διδακτορικό του αποσύρθηκε και η παρουσίασή του δεν έγινε ποτέ.

Τι είχε συμβεί;

Πόσες αδιασταύρωτες διαμερίσεις έχει το ;

Έστω μια συνάρτηση που στέλνει συγκλίνουσες σειρές σε συγκλίνουσες σειρές. Δηλαδή, αν η σειρά συγκλίνει, τότε και η συγκλίνει. Δείξτε ότι υπάρχουν και έτσι ώστε για κάθε .

Δείξτε ότι υπάρχει μια μη αριθμήσιμη οικογένεια υποσυνόλων του τέτοια ώστε η τομή οποιωνδήποτε δύο εξ’ αυτών να είναι πεπερασμένο σύνολο.