Οριακό σημείο

Υπάρχει υπακολουθία τής η οποία να συγκλίνει στο ;

Απαγορευμένοι πίνακες

Έστω ένας πίνακας από και . Υποθέτουμε ότι ο δεν περιέχει κανένα υποπίνακα που αποτελείται μόνο από . Βρείτε ένα άνω φράγμα για τον συνολικό αριθμό των .

Περιγραφή ενός συνόλου μέσω πολυωνυμικών εξισώσεων

Ένας τρόπος να περιγράψει κανείς ένα σύνολο σημείων είναι μέσω κάποιων πολυωνυμικών εξισώσεων που το ορίζουν:

όπου τα είναι κάποια πολυώνυμα ως προς τις μεταβλητές .

Για παράδειγμα το παρακάτω πολυωνυμικό σύστημα στο περιγράφει κάποιο κύκλο στο χώρο:

.

Φυσικά δεν περιγράφονται όλα τα σύνολα με αυτό τον τρόπο.

Δείξτε ότι αν τα σύνολα περιγράφονται με αυτό τον τρόπο (είναι δηλ. το καθένα από αυτά το σύνολο λύσεων κάποιου συστήματος πολυωνυμικών εξισώσεων) τότε και η ένωση

περιγράφεται κατ’ αυτό τον τρόπο. (Είναι πολύ ευκολότερο να δείτε ότι η τομή περιγράφεται από κάποιο πολυωνυμικό σύστημα.)

Είναι η ταυτοτική;

Έστω μια συνάρτηση τέτοια ώστε και για κάθε . Τι μπορείτε να πείτε για την ;
Υπάρχει μια προφανής με αυτές τις ιδιότητες. Είναι η μοναδική; Προσέξτε ότι δεν κάνουμε καμία άλλη υπόθεση για την . Επομένως θα πρέπει εσείς να μαντέψετε τους ασθενέστερους δυνατούς περιορισμούς ώστε το πρόβλημα να έχει απάντηση (αν φυσικά πιστεύετε ότι χρειάζονται κάποιοι περιορισμοί).

Σχέσεις

Αν είναι ένας πραγματικός πίνακας και δύο ακέραιοι από έως και , και ορίσουμε την ακολουθία

  (το στοιχείο της -οστής δύναμης του )

δείξτε ότι η ακολουθία ικανοποιεί μια γραμμική αναδρομική σχέση:

όπου είναι φυσικός αριθμός και πραγματικοί αριθμοί.

Ισομετρία

Έστω κλειστό και φραγμένο, και μια συνάρτηση τέτοια ώστε για κάθε . Δείξτε ότι η είναι επί.

Αναλλοίωτο σύνολο

Έστω κλειστό & φραγμένο, και μια συνεχής συνάρτηση. Δείξτε ότι υπάρχει σύνολο μη κενό & κλειστό, το οποίο η συνάρτηση αφήνει αναλλοίωτο, δηλαδή .

Ισόπλευρα τρίγωνα

Δείξτε ότι δεν υπάρχει ισόπλευρο τρίγωνο στο επίπεδο του οποίου οι κορυφές έχουν ακέραιες συντεταγμένες.

Τρίγωνα και χρώματα

Θεωρούμε ένα τρίγωνο ΑΒΓ και διαιρούμε την επιφάνεια του τριγώνου σε μικρότερα τρίγωνα έτσι ώστε αυτά να έχουν είτε μια κοινή πλευρά, είτε μια κοινή κορυφή είτε κανένα κοινό σημείο, όπως π.χ. στο σχήμα.

Βάφουμε τις κορυφές των τριγώνων που προκύπτουν ως εξής: οι κορυφές που βρίσκονται επί της ΑΒ βάφονται κίτρινες ή μπλε, οι κορυφές επί της ΒΓ βάφονται μπλε ή κόκκινες, και εκείνες επί της ΑΓ βάφονται κίτρινες ή κόκκινες. Οι υπόλοιπες κορυφές βάφονται με οποιοδήποτε από τα τρία χρώματα.

Δείξτε ότι ένα τουλάχιστον από τα μικρά τρίγωνα έχει κορυφές βαμμένες με διαφορετικά χρώματα.

Άπειρο ολοκλήρωμα

Έστω ένα σύνολο θετικού μέτρου. Δείξτε ότι υπάρχει πραγματική, μετρήσιμη συνάρτηση τέτοια ώστε .

Κυματισμός υπό έλεγχο

Δείξτε ότι υπάρχει μια θετική σταθερά τέτοια ώστε για κάθε να ισχύει

.

Ο μέσος μισθός των διευθυντών

Σε μια χώρα που επλήγη από την πρόσφατη οικονομική κρίση υπάρχει διάχυτη η εντύπωση στους μετόχους των τραπεζών ότι τα διευθυντικά στελέχη των αμοίβονται πολύ περισσότερο απ’ ό,τι πρέπει. Σε μια προσπάθεια να συνεισφέρουν στη διόρθωση του συστήματος 10 διευθυντές τραπεζών μαζεύονται μια μέρα σε μια συζήτηση στρογγυλής τραπέζης.

Πόσες ζαριές;

Ο νόμος των μεγάλων αριθμών προβλέπει ότι αν ρίξουμε ένα ζάρι πολλές φορές τότε το ποσοστό των άσων που θα φέρουμε θα είναι με μεγάλη πιθανότητα κοντά στο 1/6. Σε ποιο από τα παρακάτω δύο παιχνίδια θα σας συνέφερε περισσότερο να στοιχηματίσετε όμως;

1) Να ρίξετε ένα ζάρι 60 φορές κερδίζοντας αν φέρετε τουλάχιστον 10 άσους ή
2) Να ρίξετε ένα ζάρι 600 φορές κερδίζοντας αν φέρετε τουλάχιστον 100 άσους.

Ποσοδείκτες

Αν σε μια πρόταση εναλλάξετε τις θέσεις δυο ποσοδεικτών, τότε συνήθως το νόημα αλλάζει δραματικά. Για παράδειγμα, αν σε κάποιο διαγώνισμα τον ορισμό της συγκλίνουσας ακολουθίας τον ξεκινήσετε ως εξής:

“Υπάρχει τέτοιο ώστε για κάθε μπλα μπλα μπλα”

τότε το πιο πιθανό είναι ότι θα εξασφαλίσετε την συμμετοχή σας στην επόμενη εξεταστική. Επίσης, οι προτάσεις

“Για κάθε γυναίκα υπάρχει άντρας έτσι ώστε μπλα μπλα μπλα”

και

“Υπάρχει άντρας έτσι ώστε για κάθε γυναίκα μπλα μπλα μπλα”

είναι μάλλον διαφορετικές, εκτός κι’ αν μιλάμε για τον Brad Pitt. Παρ’ όλα αυτά, βρείτε 4 συντακτικά σωστές μαθηματικές προτάσεις (μπλα μπλα)-1, (μπλα μπλα)-2, (μπλα μπλα)-3 και (μπλα μπλα)-4 έτσι ώστε οι παρακάτω δυο συνεπαγωγές να είναι αληθείς:

“Αν υπάρχει (μπλα μπλα)-1 έτσι ώστε για κάθε (μπλα μπλα)-2 να ισχύει (μπλα μπλα)-3, τότε (μπλα μπλα)-4″

και

“Αν για κάθε (μπλα μπλα)-2 υπάρχει (μπλα μπλα)-1 έτσι ώστε να ισχύει (μπλα μπλα)-3, τότε (μπλα μπλα)-4″

Συνέχεια συνάρτησης

Υπάρχει συνεχής συνάρτηση που να παίρνει κάθε τιμή άπειρες φορές;

Το πρόβλημα του γάμου

Σ’ ένα καπέλο βρίσκονται Ν χαρτάκια. Κάθε χαρτάκι έχει πάνω του γραμμένο έναν (διαφορετικό) αριθμό. Ο σκοπός μας είναι να διαλέξουμε το χαρτάκι με το μεγαλύτερο αριθμό. Δεν μπορούμε όμως να τα δούμε όλα και μετά να διαλέξουμε. Κάθε φορά τραβάμε ένα χαρτάκι, βλέπουμε τον αριθμό που είναι γραμμένος πάνω του και αποφασίζουμε αν θα διαλέξουμε αυτό το χαρτάκι ή όχι. Αν το διαλέξουμε κερδίζουμε ή χάνουμε ανάλογα με το αν το χαρτάκι αυτό έχει ή όχι το μεγαλύτερο αριθμό από όλα τα χαρτάκια που ήταν αρχικά στο καπέλο. Αν το απορρίψουμε τραβάμε ένα καινούργιο χαρτάκι, αλλά δεν μπορούμε ποτέ να επιστρέψουμε σ’ αυτό που απορρίψαμε, κ.ο.κ. Αν εξαντλήσουμε όλα τα χαρτάκια αναγκαστικά “παίζουμε” με το τελευταίο χαρτάκι που έχει μείνει στο καπέλο. 

Μπορούμε να διαλέξουμε το πρώτο χαρτάκι που θα τραβήξουμε, και τότε η πιθανότητα να κερδίσουμε είναι 1/Ν, που τείνει όμως στο 0 καθώς το Ν τείνει στο άπειρο. Για αρχή βρείτε μια στρατηγική που μας εξασφαλίζει ότι κερδίζουμε με πιθανότητα τουλάχιστον p, όπου p>0 και δεν εξαρτάται από το Ν. 

 

Δαγκωμένη σκακιέρα

Από μια συνηθισμένη 8×8 σκακιέρα έχουμε αφαιρέσει την πάνω αριστερά και την κάτω δεξιά γωνία (απομένουν δηλ. 62 τετράγωνα). Μπορείτε να καλύψετε αυτή τη σκακιέρα με ντόμινα (ζεύγη δηλ. από τετράγωνα που έχουν μια κοινή πλευρά) που όμως δεν επιτρέπεται να αλληλοεπικαλύπτονται;

Παιδιά και κορίτσια

Σε μια χώρα ο κόσμος προτιμάει να κάνει αγόρια παρά κορίτσια. Πρόκειται για μια πειθαρχημένη χώρα κι έτσι όλοι ακολουθούν τον ακόλουθο κανόνα: κάνουν παιδιά μέχρι να κάνουν αγόρι, οπότε και σταματάνε. Πώς πιστεύετε ότι θα διαμορφωθεί η αναλογία αγοριών/κοριτσιών μακροπρόθεσμα;

Υποθέσεις: Σε κάθε γέννα γεννιέται ένα παιδί, με ίση πιθανότητα αγόρι ή κορίτσι, ανεξάρτητα από άλλες γέννες. Η οικογενειακή κατάσταση είναι στατική: υποθέστε ότι ο πληθυσμός αποτελείται από Ν ζευγάρια που ζουν επ΄ άπειρον. Τα παιδιά τους δε γεννάνε.

Πώς να βγάλετε κέρδος απ’ το μηδέν

Βρείτε ένα σύνολο στο επίπεδο το οποίο να μπορεί να διαμεριστεί σε δύο ξένα μεταξύ τους σύνολα και τέτοια ώστε το να είναι μεταφορά του και το να είναι μια στροφή του .

Έμαθα αυτή την άσκηση από τον Αρίστο Συσκάκη.

Στεφάνια

Έχουμε δύο κυκλικά στεφάνια, με ακτίνες R και 2R. Το μικρότερο στεφάνι είναι τοποθετημένο στο εσωτερικό του μεγαλύτερου ώστε να εφάπτονται σε κάποιο σημείο. 

Προσδένουμε μια γραφίδα στο μικρότερο στεφάνι στο σημείο που εφάπτεται με το μεγαλύτερο και αρχίζουμε να το κυλίουμε στο εσωτερικό του μεγαλύτερου στεφανιού (το οποίο κρατάμε σταθερό.) Τι σχήμα θα σχηματίσει το ίχνος της γραφίδας;