Μέ όποια σειρά …

Ξεκινείστε με το σύνολο αριθμών και σε κάθε βήμα επιλέξτε δύο αριθμούς από το σύνολό σας, έστω τους , και αντικαταστείστε τους στο σύνολό σας με τον ένα αριθμό .

Δείξτε ότι με όποια σειρά και αν επιλέξετε να το κάνετε αυτό μετά από 99 βήματα θα σας έχει μείνει πάντα ο ίδιος αριθμός στο σύνολό σας.

Τετράγωνα και συμμετρίες

Στις κορυφές ενός τετραγώνου βρίσκονται 4 κέρματα (τα κέντρα τους στις κορυφές). Κάθε χρονική στιγμή μπορούμε να κάνουμε ένα κέρμα να πηδήσει πάνω από ένα άλλο: το πρώτο κέρμα φεύγει από τη θέση του και πηγαίνει στη συμμετρική του θέση ως προς το άλλο (το άλλο δεν κουνάει).

Μπορούμε με μια ακολουθία από τέτοια πηδήματα να φέρουμε τα κέρματα στις κορυφές ενός μεγαλύτερου τετραγώνου;

Οριακό σημείο

Υπάρχει υπακολουθία τής η οποία να συγκλίνει στο ;

Πώς να αλλάξετε τα πρόσημα

Έχουμε ένα πίνακα με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς. Σας επιτρέπεται σε κάθε βήμα να πολλαπλασιάζετε κάθε γραμμή ή στήλη του πίνακα με -1 (να αλλάζετε δηλ. όλα τα πρόσημα σε αυτή τη γραμμή ή στήλη). Δείξτε ότι μπορείτε με αυτό τον τρόπο να πετύχετε κάθε γραμμή και κάθε στήλη του πίνακα να έχει άθροισμα .

Μπλε ή πράσινο;

Δίνουμε σε κάθε φυσικό αριθμό ένα χρώμα- μπλε ή πράσινο ως εξής: αρχικά όλοι οι αριθμοί είναι μπλε. Aλλάζουμε χρώμα στους αριθμούς της μορφής . Στη συνέχεια αλλάζουμε χρώμα στους αριθμούς της μορφής , έπειτα στους αριθμούς της μορφής κ.ο.κ. Ποιών αριθμών το χρώμα θα είναι τελικά μπλε;

Απαγορευμένοι πίνακες

Έστω ένας πίνακας από και . Υποθέτουμε ότι ο δεν περιέχει κανένα υποπίνακα που αποτελείται μόνο από . Βρείτε ένα άνω φράγμα για τον συνολικό αριθμό των .

Σημεία και ευθείες

Δίδεται ένα πεπερασμένο σύνολο σημείων στο επίπεδο που δεν είναι όλα συνευθειακά. Δείξτε ότι υπάρχει μια ευθεία που περιέχει ακριβώς δύο από τα σημεία αυτά.

Συνδέσεις

Στο επίπεδο βρίσκονται κόκκινα και πράσινα σημεία, αν τρία μη συνευθειακά. Δείξτε ότι μπορούμε να ταιριάσουμε κάθε κόκκινο με ένα πράσινο σημείο ενώνοντάς τα με ένα ευθύγραμμο τμήμα,με τέτοιο τρόπο ώστε τα αυτά ευθύγραμμα τμήματα να μην τέμνονται.

Μπιλιάρδο

Ένα τραπέζι του μπιλιάρδου έχει διαστάσεις 1×2 και έχει τρύπες στις 4 κορυφές και στα μέσα των δύο μεγάλων πλευρών. Κάποιος ρίχνει μια βολή από μια κορυφή η οποία αρχίζει να χτυπά στα τοιχώματα και να ανακλάται. Τι πρέπει να ισχύει για τη γωνία βολής ώστε η μπάλα τελικά να μπεί σε κάποια τρύπα;

Υποθέτουμε ότι οι τρύπες και η μπάλα είναι σημεία, όχι όπως στην πραγματικότητα, και ότι δεν υπάρχουν άλλες μπάλες στο τραπέζι. Θυμίζουμε ότι όταν μια μπάλα ανακλάται από ένα τοίχωμα τότε η γωνία που σχηματίζει με το τοίχωμα όταν το χτυπάει είναι ίδια με αυτή που σχηματίζει όταν φεύγει από αυτό.

Ίδια αθροίσματα

Δίδονται 10 διαφορετικοί ακέραιοι από 1 έως 100 ο καθένας. Δείξτε ότι υπάρχουν δύο ξένες ομάδες από αυτούς με το ίδιο άθροισμα.

Το πέμπτο χαρτί

Κρατάτε στο χέρι σας 5 χαρτιά που τα έχω επιλέξει εγώ κατά τύχη από μια συνηθισμένη τράπουλα (με 52 χαρτιά). Απέναντί σας βρίσκεται ο φίλος σας στον οποίο δείχνετε 4 από τα χαρτιά σας το ένα μετά το άλλο, όποια εσείς θέλετε. Ο φίλος (συνεργάτης) σας πρέπει να μαντέψει ποιο είναι το πέμπτο χαρτί. Πώς θα το κάνετε;

Μπορείτε φυσικά να έχετε συνεννοηθεί (από πριν πάρετε τα χαρτιά στα χέρια σας) με το φίλο σας για το πώς θα ενεργήσετε αλλά η μόνη πληροφορία που επιτρέπεται να περάσει ανάμεσά σας είναι τα 4 αυτά χαρτιά. Ούτε κλείσιμο του ματιού, ούτε αναποδογύρισμα των χαρτιών, ούτε άλλα τέτοια κόλπα.

Τομές συνόλων όλες ίδιες

Έστω και σύνολα με την ιδιότητα ότι

για κάθε .

Τότε .

Τομές συνόλων

Ας είναι κάποια σύνολα μεγέθους το καθένα, τέτοια ώστε η τομή οποιωνδήποτε από τα σύνολα είναι μη κενή.

Τότε και η τομή όλων των είναι μη κενή.

Ταχέως φθίνουσα

Έστω μια απείρως παραγωγίσιμη συνάρτηση με συμπαγή φορέα. Δείξτε ότι η ακολουθία

τείνει στο μηδέν πιο γρήγορα από κάθε δύναμη. Δηλαδή, για κάθε υπάρχει μια σταθερά τέτοια ώστε

για κάθε .

Περιγραφή ενός συνόλου μέσω πολυωνυμικών εξισώσεων

Ένας τρόπος να περιγράψει κανείς ένα σύνολο σημείων είναι μέσω κάποιων πολυωνυμικών εξισώσεων που το ορίζουν:

όπου τα είναι κάποια πολυώνυμα ως προς τις μεταβλητές .

Για παράδειγμα το παρακάτω πολυωνυμικό σύστημα στο περιγράφει κάποιο κύκλο στο χώρο:

.

Φυσικά δεν περιγράφονται όλα τα σύνολα με αυτό τον τρόπο.

Δείξτε ότι αν τα σύνολα περιγράφονται με αυτό τον τρόπο (είναι δηλ. το καθένα από αυτά το σύνολο λύσεων κάποιου συστήματος πολυωνυμικών εξισώσεων) τότε και η ένωση

περιγράφεται κατ’ αυτό τον τρόπο. (Είναι πολύ ευκολότερο να δείτε ότι η τομή περιγράφεται από κάποιο πολυωνυμικό σύστημα.)

L-πλακόστρωση

Δείξτε ότι με ένα πλακάκι σχήματος L

μπορείτε να πλακοστρώσετε ένα δωμάτιο το οποίο έχει μέσα μια 1×1 κολώνα (το πλάτος του κάθε τετραγώνου στο πλακάκι είναι 1, και η κολώνα βρίσκεται σε κάποια ακέραια θέση στο δωμάτιο με κάτω αριστερά γωνία ).

Εμβαδόν και περίμετρος

Το ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές 6,8 και 10 έχει περιμέτρο 24 και εμβαδόν 24. Υπάρχουν λίγα ακόμα τρίγωνα με πλευρές που έχουν ακέραιο μήκος και περίμετρο ίση με το εμβαδόν τους. Βρείτε τα.

Είναι η ταυτοτική;

Έστω μια συνάρτηση τέτοια ώστε και για κάθε . Τι μπορείτε να πείτε για την ;
Υπάρχει μια προφανής με αυτές τις ιδιότητες. Είναι η μοναδική; Προσέξτε ότι δεν κάνουμε καμία άλλη υπόθεση για την . Επομένως θα πρέπει εσείς να μαντέψετε τους ασθενέστερους δυνατούς περιορισμούς ώστε το πρόβλημα να έχει απάντηση (αν φυσικά πιστεύετε ότι χρειάζονται κάποιοι περιορισμοί).

Πάμε στοίχημα;

Οι τελικοί των play-off του πρωταθλήματος μπάσκετ πλησιάζουν και εσείς αποφασίζετε να βάλετε στοίχημα με δυο φίλους σας, έναν οπαδό του Παναθηναϊκού κι έναν του Ολυμπιακού.

Μονομαχία

Ένας μαθηματικός, ένας αριστοκράτης κι ένας κυνηγός αποφασίζουν να μονομαχήσουν για την αγάπη μιας γυναίκας. Ο κανόνας της μονομαχίας είναι ότι οι τρεις άνδρες πυροβολούν διαδοχικά μέχρι (μακάβριο…) να απομείνει ένας μόνο ζωντανός. Μετά από κλήρωση πρώτος πυροβολεί ο μαθηματικός, δεύτερος ο κυνηγός και τρίτος ο αριστοκράτης.

Ο μαθηματικός που δεν σκαμπάζει πολύ από όπλα έχει πιθανότητα 0,3 να πετύχει το στόχο του κάθε φορά που σκοπεύει, ο αριστοκράτης έχει πιθανότητα 0,5 και ο κυνηγός δεν αστοχεί ποτέ. Τι πρέπει να κάνει ο μαθηματικός μας;