Προβλήματα Μαθηματικών

Ιανουαρίου 16, 2012

Συμμετρίες περιοδικών συνόλων

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 1:03 πμ

Έστω E σύνολο στο επίπεδο. Ένα διάνυσμα 0\neq v \in {\mathbb R}^2 ονομάζεται περίοδος του E αν E+v = E, αν δηλ. το E απεικονίζεται επί του εαυτού του αν το μεταφέρουμε κατά v. Ένα σύνολο το ονομάζουμε περιοδικό αν έχει δύο γραμμικώς ανεξάρτητες περιόδους.

Ας είναι E ένα σύνολο του επιπέδου που τα στοιχεία του απέχουν ανά δύο τουλάχιστον \epsilon, μια θετική σταθερά (τέτοια σύνολα τα ονομάζουμε καμιά φορά ομοιόμορφα διακριτά). Αν το E είναι περιοδικό δείξτε ότι δε μπορεί να είναι αναλλοίωτο μετά από στροφή κατά 2\pi/5 γύρω από την αρχή των αξόνων.

1 σχόλιο »

  1. Σχετικά με αυτό το πρόβλημα:

    Το πρόβλημα αυτό σχετίζεται με τα λεγόμενα Quasicrystals, για την ανακάλυψη των οποίων, το 1982, δόθηκε το βραβείο Nobel Χημείας το 2011.

    Πρόκειται για “κρυστάλλους” οι οποίοι, παρατηρήθηκε εργαστηριακά, έχουν συμμετρία υπό στροφή 2\pi/5. Το αποτέλεσμα του παραπάνω προβλήματος λέει ότι αυτοί οι κρύσταλλοι δε μπορεί να είναι περιοδικά σύνολα στο χώρο (το αποτέλεσμα ισχύει και σε τρεις διαστάσεις) αν θεωρήσουμε ότι τα άτομα που απαρτίζουν το στερεό είναι τα σημεία του συνόλου E του προβλήματος. Η παρατήρηση αυτή ήταν σε αντίθεση με την μέχρι τότε αντίληψη ότι τα στερεά είναι περιοδικά στο χώρο. Η ανακάλυψη αυτή έχει οδηγήσει στη μελέτη της λεγόμενης απεριοδικής τάξης (aperiodic order), στην οποία, σε γενικές γραμμές, ψάχνουμε για σύνολα E που δεν είναι περιοδικά στο χώρο αλλά που ο μετασχηματισμός Fourier τους παρουσιάζει πολύ μεγάλες τιμές σε ορισμένα σημεία. Αυτό το τελευταίο είναι ο “ορισμός” του τι σημαίνει ότι ένα σύνολο E παρουσιάζει “τάξη”.

    Δείτε σχετικά, π.χ., εδώ.

    Comment από Mihalis Kolountzakis — Ιανουαρίου 17, 2012 @ 12:40 πμ


Κανάλι RSS για τα σχόλια του άρθρου. TrackBack URI

Υποβολή σχολίου

Please log in using one of these methods to post your comment:

Gravatar
WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out / Αλλαγή )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. ( Log Out / Αλλαγή )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out / Αλλαγή )

Άκυρο

Connecting to %s

Theme: Rubric. Blog στο WordPress.com.

Follow

Get every new post delivered to your Inbox.