Τα αόρατα ακέραια σημεία του επιπέδου

Ιανουαρίου 12, 2012

Τα αόρατα ακέραια σημεία του επιπέδου

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 10:39 μμ

Στεκόμαστε στο σημείο (0, 0) του επιπέδου και κοιτάμε γύρω μας τα ακέραια σημεία του επιπέδου, τα σημεία δηλ. που έχουν και τις δύο συντεταγμένες τους ακέραιες. Αν $(x, y), (z, w)$ είναι δύο τέτοια σημεία και $(z, w) = \lambda (x, y)$ για κάποιο $\lambda > 1$ τότε το σημείο $(z, w)$ είναι αόρατο σε μας (αφού η ακτίνα του φωτός που ξεκινάει από αυτό και κατευθύνεται προς εμάς κόβεται στο σημείο $(x, y)$ που βρίσκεται ανάμεσά μας).

Δείξτε ότι το σύνολο των αόρατων ακέραιων σημείων του επιπέδου περιέχει οσοδήποτε μεγάλα κομμάτια, περιέχει δηλ., για κάθε $N>0$ ένα σύνολο της μορφής

$Q(x, y) = \{ (x+i, y+j): i, j=1,2,\ldots,N \}$

για κατάλληλα επιλεγμένα ακέραια $x, y$ .

Σχόλια (4)

4 σχόλια »

Για να λυθεί το πρόβλημα αρκεί να βρούμε φυσικούς $x,y$ έτσι ώστε οι $x+i,y+j$ να μην είναι πρώτοι μεταξύ τους για $\forall \; i,j=1,2,\ldots,N$
Πρώτα επιλέγουμε τον $x$ έτσι ώστε οι $x+1,x+2,\ldots,x+N$ να διαιρούνται ο καθένας από τουλάχιστο $N^2$ διαφορετικούς πρώτους.
Επιλέγουμε φυσικούς αριθμούς $r_1,r_2,\ldots,r_N$ επαγωγικά ως εξής:
$r_1=(N+1)!+1$
οπότε
$2\;\mid \;r_1+1,\;\;3\;\mid \;r_1+2,\;\ldots,\;N+1\;\mid \;r_1+N$ .
Στο δεύτερο βήμα ορίζουμε
$r_2=(r_1+1)^2\cdot(r_1+2)^2\cdots(r_1+N)^2+r_1$
οπότε
$r_1+k\;\mid \;r_2+k\;\; \forall k=1,2,\ldots,N$ .
Επιπλέον αφού
$\frac{r_2+k}{r_1+k}=(r_1+1)^2\cdots(r_1+k)\cdots(r_1+N)^2 + 1$
ο $r_2+k$ διαιρείται από τουλάχιστο $2$ διαφορετικούς πρώτους για $k=1,2,\ldots,N$ .
Επαγωγικά αν οριστεί ο $r_i$ έτσι ώστε οι $r_i + k$ να διαιρούνται από τουλάχιστο $i\;$ διαφορετικούς πρώτους για $k=1,2,\ldots,N$ ,ορίζουμε
$r_{i+1}=(r_i+1)^2\cdot(r_i+2)^2\cdots(r_i+N)^2+r_i$ .
Τότε
$r_i+k\;\mid \;r_{i+1}+k,\;\; \forall \; k=1,2,\ldots,N$ .
Επιπλέον αφού
$\frac{r_{i+1}+k}{r_i+k}=(r_i+1)^2\cdots(r_i+k)\cdots(r_i+N)^2 + 1$
ο $r_{i+1}+k$ διαιρείται από τουλάχιστο $i+1\;$ διαφορετικούς πρώτους για $k=1,2,\ldots,N$ (αφού οι πρώτοι που διαιρούν τον $r_i+k$ δεν διαιρούν τον $\frac{r_{i+1}+k}{r_i+k}$ ).
Θέτουμε $x=r_{N^2}$ .
Υπάρχουν πρώτοι $p_{i,j},\;\; i,j=1,2,\ldots,N$ διαφορετικοί ανά δύο έτσι ώστε για $\forall\; j=1,2,\dots,N\;\; p_{i,j}\mid x+i \;\;\forall \;i=1,2,\ldots,N$ .
Τώρα από το Κινέζικο Θεώρημα μπορούμε να επιλέξουμε $y \in \mathbb{N}$ έτσι ώστε
$y+1 \equiv 0 \mod p_{_{1,1}}\cdot p_{_{2,1}}\cdots p_{_{N,1}}\\ y+2 \equiv 0 \mod p_{_{1,2}}\cdot p_{_{2,2}}\cdots p_{_{N,2}}\\ \cdots\\ y+N \equiv 0 \mod p_{_{1,N}}\cdot p_{_{2,N}}\cdots p_{_{N,N}}$
Τότε $p_{i,j}|x+i,\;\;p_{i,j}|y+j,\;\; \forall i,j=1,2,\ldots,N$ άρα τα $(x+i,y+j)$ είναι αόρατα ακέραια σημεία του επιπέδου.

Comment από pamp0s — Ιανουαρίου 14, 2012 @ 10:15 μμ
Δε μπορώ να δω κάτι.

Για τα $p_{i,1}, p_{i,2}, \ldots$ βλέπω ότι είναι διαφορετικά μεταξύ τους αλλά όχι αν αλλάξει και ο πρώτος δείκτης. Για παράδειγμα, γιατί είναι τα $p_{1,1}, p_{2,1}$ διαφορετικά;

Comment από Mihalis Kolountzakis — Ιανουαρίου 15, 2012 @ 10:32 μμ
Στη $5^{\eta}$ γραμμη του $1^{o\upsilon}$ σχολιου ειναι καλύτερα να έλεγα:
” Για $n\in \mathbb{N}$ επιλέγουμε τον ακέραιο $r_n$ επαγωγικά ως εξής: ”
Τώρα η επιλογή των $p_{i,j}$ γίνεται ως εξής:
Θέσαμε ${\bf x=r_{N^2}}$ οπότε οι ακέραιοι $x+1,x+2,\ldots,x+N,x+N+1,\ldots,x+N^2$ διαιρούνται ο καθένας από τουλάχιστο $N^2$ διαφορετικούς πρώτους(Εμάς μας ενδιαφέρει μόνο για τους $x+1,x+2,\ldots,x+N$ ).
Επιλέγουμε τους $p_{_{1,1}},p_{_{1,2}},\ldots,p_{_{1,N}}$ τυχαια από τους πρώτους που διαιρούν τον $x+1$ .
Μετά από τους πρώτους που διαιρούν τον $x+2$ (οι οποίοι είναι τουλάχιστο $N^2$ στο πλήθος) επιλέγουμε τους $p_{_{2,1}},p_{_{2,2}},\ldots,p_{_{2,N}}$ ετσι ώστε οι $p_{_{1,1}},p_{_{1,2}},\ldots,p_{_{1,N}},p_{_{2,1}},p_{_{2,2}},\ldots,p_{_{2,N}}$ να είναι διαφορετικοί ανά δυο.
Συνεχίζοντας επαγωγικά επιλέγουμε τους $p_{_{i,j}}\;\; i,j=1,2,\ldots,N$ ετσι ώστε να είναι διαφορετικοί ανά δύο.

Comment από pamp0s — Ιανουαρίου 16, 2012 @ 3:34 μμ
Σωστά, όλα καλά τώρα.

Comment από Mihalis Kolountzakis — Ιανουαρίου 16, 2012 @ 4:25 μμ

Κανάλι RSS για τα σχόλια του άρθρου. TrackBack URI

Υποβολή σχολίου Cancel reply

Enter your comment here...

Please log in using one of these methods to post your comment:

Email (υποχρεωτικό) (Address never made public)

Όνομα (υποχρεωτικό)

Ιστοσελίδα

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out / Αλλαγή )

You are commenting using your Twitter account. ( Log Out / Αλλαγή )

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out / Αλλαγή )

Άκυρο

Connecting to %s

	Themis Mitsis on Τρίγωνα
	henk&christos on Τρίγωνα
	Themis Mitsis on Καμπύλες με μήκος
	henk&christos on Καμπύλες με μήκος
	Themis Mitsis on Σταθερή συνάρτηση
	cloudkyr on Σταθερή συνάρτηση
	Mihalis Kolountzakis on Συμμετρίες περιοδικών συν…
	Mihalis Kolountzakis on Τα αόρατα ακέραια σημεία του…
	pamp0s on Τα αόρατα ακέραια σημεία του…
	Mihalis Kolountzakis on Τα αόρατα ακέραια σημεία του…
	pamp0s on Τα αόρατα ακέραια σημεία του…
	Mihalis Kolountzakis on Γινόμενα πινάκων
	pamp0s on Γινόμενα πινάκων
	Mihalis Kolountzakis on Γινόμενα πινάκων
	Anastasios Kotronis on Αναδρομική ακολουθία

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
« Νοε				Φεβ »
						1
2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15
16	17	18	19	20	21	22
23	24	25	26	27	28	29
30	31

Προβλήματα Μαθηματικών

Ιανουαρίου 12, 2012