Ξεκινείστε με το σύνολο αριθμών 
Δείξτε ότι με όποια σειρά και αν επιλέξετε να το κάνετε αυτό μετά από 99 βήματα θα σας έχει μείνει πάντα ο ίδιος αριθμός στο σύνολό σας.
Προβλήματα Μαθηματικών
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ
Εδώ θα τοποθετούμε προβλήματα μαθηματικών που θεωρούμε όμορφα. Τα πιο πολλά από αυτά δεν είναι τελείως στοιχειώδη και, κατά κανόνα, απαιτούν κάποιες γνώσεις μαθηματικών που αποκτά κανείς στο Πανεπιστήμιο (ή τουλάχιστον θα έπρεπε ...).
Στα σχόλια κάθε προβλήματος μπορείτε να γράφετε λύσεις, ιδέες, αντιρρήσεις, ερωτήσεις, σχολιασμούς, κλπ.
Αν έχετε κάποιο καλό πρόβλημα που θα θέλατε να αναρτηθεί εδώ στείλτε μας το με e-mail.
Ποιοί συνεισφέρουν προβλήματα:
-
Πρόσφατα σχόλια
Themis Mitsis στο Χωριστά συνεχής christosmix στο Χωριστά συνεχής Themis Mitsis στο Χωριστά συνεχής christosmix στο Χωριστά συνεχής Michalis Loulakis στο Αριθμοί Liouville II Mihalis Kolountzakis στο Μη αρνητικά πολυώνυμα yannisanag στο Αριθμοί Liouville II yannisanag στο Αριθμοί Liouville II nikos3223 στο Μη αρνητικά πολυώνυμα Themis Mitsis στο Αριθμοί Liouville yannisanag στο Αριθμοί Liouville Themis Mitsis στο Χωριστά συνεχής christosmix στο Χωριστά συνεχής Michalis Loulakis στο Άθροισμα 15 xatzial στο Άθροισμα 15
Γεια σας,
παρατηρουμε οτι αν παρουμε τρεις αριθμους τους x,y,z και κανουμε την
ζητουμενη πραξη με οποιαδηποτε σειρα το αποτελεσμα ειναι το ιδιο λογω
της ταυτοτητας:
(x+y+xy)+z+(x+y+xy)z=(x+z+xz)+y+(x+z+xz)y
Οποτε το αποτελεσμα θα ειναι το ιδιο και για 100 τυχαιους αριθμους.
Σχόλιο από alexandrosr9 — Οκτωβρίου 27, 2009 @ 2:48 πμ
Σωστά. Η πράξη δηλ. που ορίζεται από τη σχέση
είναι προσεταιριστική και αντιμεταθετική (αυτό το τελευταίο είναι προφανές). Ποιος είναι ο αριθμός στη δεδομένη περίπτωση;
Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Οκτωβρίου 27, 2009 @ 10:10 πμ
Αφού δεν μας νοιάζει η σειρά πρόσθεσης μπορούμε να επιλέξουμε όποια θέλουμε και μια που βολεύει ειναι να αντικαθιστούμε κάθε φορά τους δυο μεγαλύτερους. Ήτοι, 1*1/2 = 2, 2* 1/3 = 3, κ.ο.κ. Το αποτέλεσμα λοιπόν είναι ίσο με 100.
Σχόλιο από Charalampos Tsourakakis — Οκτωβρίου 29, 2009 @ 12:45 πμ
Σωστά.
Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Οκτωβρίου 29, 2009 @ 1:34 πμ
Η λυση του Χαραλαμπου ειναι πολυ ωραια και γρηγορη,αλλα στελνω και εγω τη δικια μου
μιας και εγινε συνεταιρικα με ενα φιλο μου:
ψαχνοντας για λιγους αριθμους και οχι για 100 παρατηρουμε οτι η απαντηση ειναι
το αθροισμα των αριθμων συν το αθροισμα των γινομενων τους ανα δυο συν το αθροισμα
των γινομενων τους ανα τρια κ.ο.κ.
Τωρα απο τους τυπους του Veita η παρασταση γινεται ως εξης
(1+1)(1+1/2)…(1+1/100)-1=2*3/2*4/3*…*101/100-1=101-1=100
Σχόλιο από alexandrosr9 — Οκτωβρίου 29, 2009 @ 2:28 πμ
Σωστό κι αυτό.
Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Οκτωβρίου 29, 2009 @ 7:15 μμ