Τρείς φίλοι ξεκινούν έχοντας ένα (ακέραιο, θετικό) χρηματικό ποσό ο καθένας.
Σε κάθε βήμα δύο από αυτούς μπορούν να τροποποιούν τα ποσά που έχουν ως εξής:
αν είναι 
Δείξτε ότι είναι πάντα δυνατό να κάνουν αυτές τις αλλαγές με τέτοιο τρόπο ώστε κάποιος από τους τρεις να καταλήξει χωρίς καθόλου χρήματα.
Εδώ θα τοποθετούμε προβλήματα μαθηματικών που θεωρούμε όμορφα. Τα πιο πολλά από αυτά δεν είναι τελείως στοιχειώδη και, κατά κανόνα, απαιτούν κάποιες γνώσεις μαθηματικών που αποκτά κανείς στο Πανεπιστήμιο (ή τουλάχιστον θα έπρεπε ...).
Στα σχόλια κάθε προβλήματος μπορείτε να γράφετε λύσεις, ιδέες, αντιρρήσεις, ερωτήσεις, σχολιασμούς, κλπ.
Αν έχετε κάποιο καλό πρόβλημα που θα θέλατε να αναρτηθεί εδώ στείλτε μας το με e-mail.
Ποιοί συνεισφέρουν προβλήματα:
Οι ανταλλαγές γίνονται σε τυχαία σειρά ή πχ πρώτα ο Α με τον Β, μετά ο Β με τον Γ, μετά ο Γ με τον Α κοκ?
Σχόλιο από nefelh — Οκτωβρίου 21, 2009 @ 2:06 μμ
Όπως αυτοί θέλουν ώστε να πετύχουν το σκοπό τους.
Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Οκτωβρίου 21, 2009 @ 2:32 μμ
Υπόδειξη:
Θεωρείστε δύο άτομα από τα τρία μόνο και υποθέστε ότι ο ένας έχει περιττό ποσό και ο άλλος άρτιο. Δείξτε ότι αυτός που έχει το άρτιο ποσό μπορεί να δώσει στον άλλο τα μισά. (Αφήστε τον τρίτο απ’ έξω για να το δείξετε. Δε χρειάζεται να τον ανακατέψετε.)
Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Οκτωβρίου 22, 2009 @ 10:59 πμ
Μα πώς; Aς πούμε ο ένας έχει 17 και ο άλλος 4. Πώς μπορεί ο άρτιος να δώσει τα μισά στον περιττό αφού είναι μικρότερος; δεν επιτρεπεται από τους κανόνες.
Σχόλιο από pebox — Οκτωβρίου 24, 2009 @ 10:09 πμ
Μπορούμε να φανταστούμε τους αριθμούς σαν σημεία επάνω στον άξονα των φυσικών αριθμών τα οποία κινούνται. Έστω Α<=Β<=Γ. Αν είναι όλοι τους άρτιοι τότε μπορώ να παράγω κάθε άρτιο με τις δοσοληψίες που γίνονται ανάμεσα στον Α και τον Γ (οι δοσοληψίες με άρτιους πάντα σε άρτια ποσά με αφήνουν). Είναι σα να έχω ένα διάστημα και συστέλλω τα άκρα του (από αριστερά και από δεξιά) κατά το ίδιο ποσό, κι έχω κι ένα σημείο μέσα στο διάστημα που ορίζουν τα άκρα. Κάποτε κάποιο άκρο θα συμπέσει με το σημείο. Για περιττούς δεν έχω σκεφτεί, δεν διαιρούνται ακριβώς…
Σχόλιο από pebox — Οκτωβρίου 24, 2009 @ 10:18 πμ
Αυτά που λες για τους άρτιους δεν είναι σωστά αιτιολογημένα.
Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Οκτωβρίου 24, 2009 @ 1:56 μμ
Υπόδειξη: Για να δείξετε αυτό που ζητάει η προηγούμενη υπόδειξη παρατηρείστε ότι αν δύο άτομα (θυμηθείτε ότι αγνοούμε τον τρίτο) έχουν άρτιο και περιττό ποσό τότε μετά από ένα γύρο (α) πάλι θα έχουμε ένα άρτιο και ένα περιττό και (β) κάθε τέτοια κατάσταση μπορεί να έχει προέλθει από μόνο μια άλλη.
Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Οκτωβρίου 26, 2009 @ 12:50 μμ
Έστω ένας από αυτούς περιττός και ένας άρτιος, τότε στις μεταξύ τους δοσοληψίες, κάποια στιγμή ο ένας από τους δύο θα φθάσει να έχει ποσό ίσο με τη μονάδα, ενώ ο άλλος θα έχει άρτιο ποσό. Σταματάνε εκέι τις δοσοληψίες.
Εάν ο τρίτος είναι περιττός, τότε αυτός που έχει άρτιο ποσό ξεκινά μαζί του δοσοληψίες μέχρι κάποιος να έχει μονάδα. Μετά οι δύο φίλοι που έχουν μονάδες κάνουν μία τελευταία δοσοληψία μεταξύ τους.
Εάν ο τρίτος είναι άρτιος τότε κάνει μία δοσοληψία με αυτόν που έχει μονάδα, οπότε ο τελευταίος αποκτά 2 μονάδες και ο άλλος περιττό. Οπότε αυτός με το περιττό ποσό κάνει δοσοληψία με τον άρτιο μέχρι κάποιος να αποκτήσει ποσό μονάδα. Στη συνέχεια κάνουν άλλη μία δοσοληψία μέχρι να αποκτήσει αυτός που έχει μονάδα, 2 μονάδες, και τελικά αυτοί που έχουν 2 μονάδες κάνουν μία τελευταία δοσοληψία.
Σχόλιο από pebox — Οκτωβρίου 27, 2009 @ 11:07 μμ
pebox, λες:
Έστω ένας από αυτούς περιττός και ένας άρτιος, τότε στις μεταξύ τους δοσοληψίες, κάποια στιγμή ο ένας από τους δύο θα φθάσει να έχει ποσό ίσο με τη μονάδα, ενώ ο άλλος θα έχει άρτιο ποσό. Σταματάνε εκέι τις δοσοληψίες.
Γιατί;
Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Οκτωβρίου 27, 2009 @ 11:16 μμ
ναι πιο σωστά ίσως θα ήταν να έλεγα σταματάνε εκεί τις δοσοληψίες και κοιτάνε τί ποσό έχει ο τρίτος, εάν έχει άρτιο ποσό μονάδων πέφτουν στη 2η περ. που έγραψα, εάν περιττό στην 1η.
Σχόλιο από pebox — Οκτωβρίου 27, 2009 @ 11:30 μμ
Γιατί θα φτάσουν να έχει κάποιος μονάδα;
Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Οκτωβρίου 27, 2009 @ 11:32 μμ
ναι σωστά δεν φτάνουν πάντα. δεν δουλεύει. νομιζω όμως ότι πάντα ανταλλάζουν χρήματα εάν επαναλλάβουν ικανές φορές τις δοσοληψίες
Σχόλιο από pebox — Οκτωβρίου 27, 2009 @ 11:57 μμ