Προβλήματα Μαθηματικών

Οκτωβρίου 18, 2009

Οριακό σημείο

Κατηγορίες: Λυμένα Προβλήματα, Με επιπλέον ερωτήματα — Themis Mitsis @ 3:27 μμ

Υπάρχει υπακολουθία τής x_n=\sqrt{n}\sin n η οποία να συγκλίνει στο 0;

9 σχόλια »

  1. Η b_{n}=\frac{1}{n} \sin \frac{1}{n^{2}} συγλίνει στο 0

    Σχόλιο από giannisn1990 — Οκτωβρίου 23, 2009 @ 8:02 μμ

  2. Η b_n δεν είναι υπακολουθία τής x_n.
    Μια υπακολουθία τής x_n πρέπει να έχει τη μορφή \sqrt{k_n}\sin {k_n} όπου τα k_n είναι φυσικοί αριθμοί.
    Για παράδειγμα η n\sin n^2 είναι υπακολουθία.

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Οκτωβρίου 23, 2009 @ 11:09 μμ

  3. Υπάρχει η υπακολουθία της Χn, η Χnk=(1/k)^1/2*sin(1/k).

    k—>+oo, 1/k—>0, άρα και η Χnk—>0.

    Παρατήρηση:
    Το κ είναι δείκτης του n.

    k=1, Xn1=sin1
    k=2, Xn2=(1/2)^1/2sin(1/2)
    k=3, Xn3=(1/3)^1/2sin(1/3)
    …………………….

    Σχόλιο από zf1986 — Οκτωβρίου 24, 2009 @ 1:13 μμ

  4. Ούτε αυτή είναι υπακολουθία. Αυτό που είναι μέσα στο ημίτονο πρέπει να είναι φυσικός αριθμός.

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Οκτωβρίου 24, 2009 @ 1:22 μμ

  5. Νομίζω ότι η συγκεκριμένη ακολουθία δεν έχει το μηδέν ως οριακό της αριθμό. Άρα δεν υπάρχει υπακολουθία της που να συκλίνει στο μηδέν.

    Σχόλιο από zf1986 — Οκτωβρίου 25, 2009 @ 10:00 μμ

  6. Γιατί δεν είναι το μηδέν οριακό σημείο;

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Οκτωβρίου 26, 2009 @ 12:24 πμ

  7. Δείτε εδώ τους 3000 πρώτους όρους τής ακολουθίας. Πιστεύετε ότι το μηδέν είναι ή δεν είναι οριακό σημείο;

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Οκτωβρίου 26, 2009 @ 1:00 πμ

  8. Το 0 ειναι οριακος αριθμος της ακολουθιας. Για να το δειξουμε αρκει για καθε \epsilon να βρουμε n και m τετοιους ωστε
    \displaystyle{(*)|n-2\pi m|\le\frac{\epsilon}{\sqrt{n}}}, γιατι τοτε |\sqrt{n}\sin n|=|\sqrt{n}\sin(n-2\pi m)|\le\epsilon απο την ανισοτητα |sin x|\le|x|. Η (*) ειναι ισοδυναμη με
    \displaystyle{(**)\Bigl\lvert\frac mn-\frac1{2\pi}\Bigr\rvert\le\frac{\epsilon}{2\pi n^{3/2}}}. Απο το Θεωρημα Προσεγγισης του Dirichlet http://mathworld.wolfram.com/DirichletsApproximationTheorem.html, για καθε N υπαρχουν m και n\le N τ.ω.
    \displaystyle{(**)\Bigl\lvert\frac mn-\frac1{2\pi}\Bigr\rvert\le\frac1{nN}}. Eπισης, καθως ο 2\pi ειναι αρρητος, n=n(N)\to\infty καθως N\to\infty. Ετσι, μπορουμε να υποθεσουμε οτι \epsilon\ge2\pi n^{-1/2} και αρα η (**) ισχυει.

    Ερωτηση: καθε ακολουθια της μορφης n^\alpha\sin n με \alpha<1 εχει οριακο σημειο το 0 και η αποδειξη ειναι παρομοια. Ισχυει το ιδιο για την ακολουθια n\sin n; Η απαντηση, την οποια δε γνωριζω, εξαρταται απο το ποσο γρηγορα συγκλινουν τα συνεχη κλασματα του αριθμου 1/2\pi http://mathworld.wolfram.com/ContinuedFraction.html.

    Σχόλιο από partalopoulo — Οκτωβρίου 28, 2009 @ 2:47 πμ

  9. Σωστά.
    Το ερώτημά σου, ας το κάνουμε επιπλέον ερώτημα στο πρόβλημα.

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Οκτωβρίου 28, 2009 @ 4:34 πμ


Κανάλι RSS για τα σχόλια του άρθρου. TrackBack URI

Γράψτε ένα σχόλιο

Για να σχολιάσετε πρέπει να συνδεθείτε.

Blog στο WordPress.com.