Μέ όποια σειρά …

Ξεκινείστε με το σύνολο αριθμών και σε κάθε βήμα επιλέξτε δύο αριθμούς από το σύνολό σας, έστω τους , και αντικαταστείστε τους στο σύνολό σας με τον ένα αριθμό .

Δείξτε ότι με όποια σειρά και αν επιλέξετε να το κάνετε αυτό μετά από 99 βήματα θα σας έχει μείνει πάντα ο ίδιος αριθμός στο σύνολό σας.

Τετράγωνα και συμμετρίες

Στις κορυφές ενός τετραγώνου βρίσκονται 4 κέρματα (τα κέντρα τους στις κορυφές). Κάθε χρονική στιγμή μπορούμε να κάνουμε ένα κέρμα να πηδήσει πάνω από ένα άλλο: το πρώτο κέρμα φεύγει από τη θέση του και πηγαίνει στη συμμετρική του θέση ως προς το άλλο (το άλλο δεν κουνάει).

Μπορούμε με μια ακολουθία από τέτοια πηδήματα να φέρουμε τα κέρματα στις κορυφές ενός μεγαλύτερου τετραγώνου;

Διπλασιασμός μέχρι τέλους

Τρείς φίλοι ξεκινούν έχοντας ένα (ακέραιο, θετικό) χρηματικό ποσό ο καθένας.

Σε κάθε βήμα δύο από αυτούς μπορούν να τροποποιούν τα ποσά που έχουν ως εξής:

αν είναι τα δύο ποσά τότε αυτός που έχει τα περισσότερα δίνει στον άλλο όσα έχει ο άλλος. Τα δύο ποσά γίνονται δηλ. και .

Δείξτε ότι είναι πάντα δυνατό να κάνουν αυτές τις αλλαγές με τέτοιο τρόπο ώστε κάποιος από τους τρεις να καταλήξει χωρίς καθόλου χρήματα.

Οριακό σημείο

Υπάρχει υπακολουθία τής η οποία να συγκλίνει στο ;

Πώς να αλλάξετε τα πρόσημα

Έχουμε ένα πίνακα με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς. Σας επιτρέπεται σε κάθε βήμα να πολλαπλασιάζετε κάθε γραμμή ή στήλη του πίνακα με -1 (να αλλάζετε δηλ. όλα τα πρόσημα σε αυτή τη γραμμή ή στήλη). Δείξτε ότι μπορείτε με αυτό τον τρόπο να πετύχετε κάθε γραμμή και κάθε στήλη του πίνακα να έχει άθροισμα .

Μπλε ή πράσινο;

Δίνουμε σε κάθε φυσικό αριθμό ένα χρώμα- μπλε ή πράσινο ως εξής: αρχικά όλοι οι αριθμοί είναι μπλε. Aλλάζουμε χρώμα στους αριθμούς της μορφής . Στη συνέχεια αλλάζουμε χρώμα στους αριθμούς της μορφής , έπειτα στους αριθμούς της μορφής κ.ο.κ. Ποιών αριθμών το χρώμα θα είναι τελικά μπλε;