Προβλήματα Μαθηματικών

Ιουλίου 14, 2009

Ταχέως φθίνουσα

Κατηγορίες: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 6:12 μμ

Έστω \varphi:\mathbb R\to\mathbb R μια απείρως παραγωγίσιμη συνάρτηση με συμπαγή φορέα. Δείξτε ότι η ακολουθία
\displaystyle t_n=\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi(x)\cos(nx)\, dx
τείνει στο μηδέν πιο γρήγορα από κάθε δύναμη. Δηλαδή, για κάθε a>0 υπάρχει μια σταθερά C_{\varphi,a}>0 τέτοια ώστε
\displaystyle |t_n|\leq\frac{C_{\varphi,a}}{n^a}
για κάθε n.

2 σχόλια »

  1. Το ολοκληρωμα ισουται με: \int_{-\infty}^\infty \phi(x)cos(nx)dx = \int_{-\infty}^\infty \phi(x)\frac{1}{n}(sin(nx))'dx = [\phi(x)sin(nx)]_{-\infty}^\infty - \frac{1}{n}\int_{-\infty}^\infty \phi'(x)sin(nx)dx = -\frac{1}{n}\int_{-\infty}^\infty \phi'(x)sin(nx)dx
    λογω του οτι η \phi(x) εχει πεπερασμενο φορεα. Επαναλαμβανοντας την παραπανω διαδικασια k φορες παιρνουμε οτι
    |\int_{-\infty}^\infty \phi(x)cos(nx)dx| \leq \frac{1}{n^k} \int_{-\infty}^\infty |\phi^{(k)}(x)|dx.

    Επειδη η \phi(x) ειναι απειρες φορες παραγωγισιμη και εχει πεπερασμενο φορεα, ισχυει οτι
    \int_{-\infty}^\infty |\phi^{(k)}(x)|dx \leq M_{k,\phi} T_\phi οπου M_{k,\phi} ειναι η μεγιστη τιμη της |\phi^{(k)}(x)|
    και T_\phi ειναι ο φορεας της \phi(x). Συνοψιζοντας, |t_n|\leq \frac{1}{n^k} \int_{-\infty}^\infty |\phi^{(k)}(x)|dx \leq \frac{M_{k,\phi} T_\phi}{n^k} για καθε k\in\mathbb Z.

    Αρα, θετοντας ως k τον μικροτερο ακεραιο που ειναι μεγαλυτερος απο το a παιρνουμε το ζητουμενο.

    Comment από yannispantazis — Σεπτεμβρίου 13, 2009 @ 4:42 μμ

  2. Πολύ σωστά.

    Comment από Themis Mitsis — Σεπτεμβρίου 13, 2009 @ 5:28 μμ


Κανάλι RSS για τα σχόλια του άρθρου. TrackBack URI

Γράψτε ένα σχόλιο

Για να σχολιάσετε πρέπει να συνδεθείτε.

Blog στο WordPress.com.