Σχόλια στο Περιγραφή ενός συνόλου μέσω πολυωνυμικών εξισώσεων http://kolount.wordpress.com/2009/07/13/%cf%80%ce%b5%cf%81%ce%b9%ce%b3%cf%81%ce%b1%cf%86%ce%ae-%ce%b5%ce%bd%cf%8c%cf%82-%cf%83%cf%85%ce%bd%cf%8c%ce%bb%ce%bf%cf%85-%ce%bc%ce%ad%cf%83%cf%89-%cf%80%ce%bf%ce%bb%cf%85%cf%89%ce%bd%cf%85%ce%bc/ και λύσεις Thu, 17 Dec 2009 13:33:03 +0000 http://wordpress.com/ hourly 1 Από: Mihalis Kolountzakis http://kolount.wordpress.com/2009/07/13/%cf%80%ce%b5%cf%81%ce%b9%ce%b3%cf%81%ce%b1%cf%86%ce%ae-%ce%b5%ce%bd%cf%8c%cf%82-%cf%83%cf%85%ce%bd%cf%8c%ce%bb%ce%bf%cf%85-%ce%bc%ce%ad%cf%83%cf%89-%cf%80%ce%bf%ce%bb%cf%85%cf%89%ce%bd%cf%85%ce%bc/#comment-1044 Mihalis Kolountzakis Fri, 17 Jul 2009 15:15:39 +0000 http://kolount.wordpress.com/?p=913#comment-1044 Πολύ σωστά, αυτή απόδειξη καλύπτει οποιοδήποτε σώμα, όχι μόνο τους μιγαδικούς. Το συμπλήρωμα δεν μπορεί εν γένει να οριστεί με αυτό τον τρόπο. Για παράδειγμα, όταν έχουμε μια μεταβλητή (υποσύνολα του $latex {\mathbb R}$ ή του $latex {\mathbb C}$) όλα τα σύνολα $latex \{x: f_i(x)=0,\ i=1,2,\ldots,m\}$ είναι πεπερασμένα. Πολύ σωστά, αυτή απόδειξη καλύπτει οποιοδήποτε σώμα, όχι μόνο τους μιγαδικούς.

Το συμπλήρωμα δεν μπορεί εν γένει να οριστεί με αυτό τον τρόπο. Για παράδειγμα, όταν έχουμε μια μεταβλητή (υποσύνολα του {\mathbb R} ή του {\mathbb C}) όλα τα σύνολα

\{x: f_i(x)=0,\ i=1,2,\ldots,m\}

είναι πεπερασμένα.

]]> Από: stedes http://kolount.wordpress.com/2009/07/13/%cf%80%ce%b5%cf%81%ce%b9%ce%b3%cf%81%ce%b1%cf%86%ce%ae-%ce%b5%ce%bd%cf%8c%cf%82-%cf%83%cf%85%ce%bd%cf%8c%ce%bb%ce%bf%cf%85-%ce%bc%ce%ad%cf%83%cf%89-%cf%80%ce%bf%ce%bb%cf%85%cf%89%ce%bd%cf%85%ce%bc/#comment-1043 stedes Fri, 17 Jul 2009 13:53:13 +0000 http://kolount.wordpress.com/?p=913#comment-1043 Έστω ότι το $latex y$ ανήκει στο σύνολο $latex \{x: f_i(x)g_j(x)=0,\forall i,\forall j\}$. Τότε ή όλα τα $latex f_i(y)$ είναι ίσα με $latex 0$, άρα το $latex y$ ανήκει στο $latex A$, ή υπάρχει τουλάχιστον ένα $latex m$ για το οποίο $latex f_m(y) \neq 0$. Στη δεύτερη περίπτωση επειδή ισχύει $latex f_m(y)g_j(y)=0 ,\forall j$, όλα τα $latex g_j(y)$ θα είναι ίσα με $latex 0$, άρα το $latex y$ ανήκει στο $latex B$. Οπότε σε κάθε περίπτωση το $latex y$ ανήκει στην ένωση $latex A\cup B$. Αναρωτιέμαι αν υπάρχει κάτι αντίστοιχο και για το συμπλήρωμα ενός συνόλου. Έστω ότι το y ανήκει στο σύνολο \{x: f_i(x)g_j(x)=0,\forall i,\forall j\}. Τότε ή όλα τα f_i(y) είναι ίσα με 0, άρα το y ανήκει στο A, ή υπάρχει τουλάχιστον ένα m για το οποίο f_m(y) \neq 0. Στη δεύτερη περίπτωση επειδή ισχύει f_m(y)g_j(y)=0 ,\forall j, όλα τα g_j(y) θα είναι ίσα με 0, άρα το y ανήκει στο B. Οπότε σε κάθε περίπτωση το y ανήκει στην ένωση A\cup B.

Αναρωτιέμαι αν υπάρχει κάτι αντίστοιχο και για το συμπλήρωμα ενός συνόλου.

]]> Από: Mihalis Kolountzakis http://kolount.wordpress.com/2009/07/13/%cf%80%ce%b5%cf%81%ce%b9%ce%b3%cf%81%ce%b1%cf%86%ce%ae-%ce%b5%ce%bd%cf%8c%cf%82-%cf%83%cf%85%ce%bd%cf%8c%ce%bb%ce%bf%cf%85-%ce%bc%ce%ad%cf%83%cf%89-%cf%80%ce%bf%ce%bb%cf%85%cf%89%ce%bd%cf%85%ce%bc/#comment-1042 Mihalis Kolountzakis Fri, 17 Jul 2009 12:48:43 +0000 http://kolount.wordpress.com/?p=913#comment-1042 <b>stedes:</b> Αυτή είναι η απάντηση, αλλά χρειάζεται κάποια (μικρή) αιτιολόγηση. Ειδικότερα θέλει αιτιολόγηση το ότι $latex \{x:\ f_i(x)g_j(x)=0, \forall i,j\} \subseteq A \cup B$. Η άλλη κατεύθυνση είναι φανερή. stedes:

Αυτή είναι η απάντηση, αλλά χρειάζεται κάποια (μικρή) αιτιολόγηση. Ειδικότερα θέλει αιτιολόγηση το ότι \{x:\ f_i(x)g_j(x)=0, \forall i,j\} \subseteq A \cup B. Η άλλη κατεύθυνση είναι φανερή.

]]> Από: stedes http://kolount.wordpress.com/2009/07/13/%cf%80%ce%b5%cf%81%ce%b9%ce%b3%cf%81%ce%b1%cf%86%ce%ae-%ce%b5%ce%bd%cf%8c%cf%82-%cf%83%cf%85%ce%bd%cf%8c%ce%bb%ce%bf%cf%85-%ce%bc%ce%ad%cf%83%cf%89-%cf%80%ce%bf%ce%bb%cf%85%cf%89%ce%bd%cf%85%ce%bc/#comment-1041 stedes Fri, 17 Jul 2009 12:22:12 +0000 http://kolount.wordpress.com/?p=913#comment-1041 Αν $latex A = \{x \in {\mathbb C}^n : f_i(x)=0 \hspace{0.2 in} \forall i=1,2,\ldots,k\}$ και $latex B = \{x \in {\mathbb C}^n : g_j(x)=0 \hspace{0.2 in} \forall j=1,2,\ldots,r\}$ τότε $latex A \cup B = \{x \in {\mathbb C}^n : f_i(x)\cdot g_j(x)=0 \hspace{0.2 in} \forall i=1,2,\ldots,k \hspace{0.2 in} \forall j=1,2,\ldots,r \}$, άρα και η ένωση τους περιγράφεται κατά τον ίδιο τρόπο. Αν A = \{x \in {\mathbb C}^n : f_i(x)=0 \hspace{0.2 in} \forall i=1,2,\ldots,k\} και B = \{x \in {\mathbb C}^n : g_j(x)=0 \hspace{0.2 in} \forall j=1,2,\ldots,r\} τότε A \cup B = \{x \in {\mathbb C}^n : f_i(x)\cdot g_j(x)=0 \hspace{0.2 in} \forall i=1,2,\ldots,k \hspace{0.2 in} \forall j=1,2,\ldots,r \}, άρα και η ένωση τους περιγράφεται κατά τον ίδιο τρόπο.

]]> Από: Mihalis Kolountzakis http://kolount.wordpress.com/2009/07/13/%cf%80%ce%b5%cf%81%ce%b9%ce%b3%cf%81%ce%b1%cf%86%ce%ae-%ce%b5%ce%bd%cf%8c%cf%82-%cf%83%cf%85%ce%bd%cf%8c%ce%bb%ce%bf%cf%85-%ce%bc%ce%ad%cf%83%cf%89-%cf%80%ce%bf%ce%bb%cf%85%cf%89%ce%bd%cf%85%ce%bc/#comment-1040 Mihalis Kolountzakis Tue, 14 Jul 2009 16:58:40 +0000 http://kolount.wordpress.com/?p=913#comment-1040 Πολώ σωστά. Πώς μπορεί κανείς να αποδείξει το ιδιο πράγμα για υποσύνολα του $latex {\mathbb C}^n$, όπου φυσικά το $latex a^2+b^2$ μπορεί να είναι 0 χωρίς να είναι κανένα από τα $latex a, b$ μηδέν; Πολώ σωστά.

Πώς μπορεί κανείς να αποδείξει το ιδιο πράγμα για υποσύνολα του {\mathbb C}^n, όπου φυσικά το a^2+b^2 μπορεί να είναι 0 χωρίς να είναι κανένα από τα a, b μηδέν;

]]> Από: Charalampos Tsourakakis http://kolount.wordpress.com/2009/07/13/%cf%80%ce%b5%cf%81%ce%b9%ce%b3%cf%81%ce%b1%cf%86%ce%ae-%ce%b5%ce%bd%cf%8c%cf%82-%cf%83%cf%85%ce%bd%cf%8c%ce%bb%ce%bf%cf%85-%ce%bc%ce%ad%cf%83%cf%89-%cf%80%ce%bf%ce%bb%cf%85%cf%89%ce%bd%cf%85%ce%bc/#comment-1039 Charalampos Tsourakakis Tue, 14 Jul 2009 16:51:30 +0000 http://kolount.wordpress.com/?p=913#comment-1039 To κάθε σύνολο μπορεί να περιγραφεί με μία μόνο εξίσωση, παίρνοντας το άθροισμα των τετραγώνων των εξισώσεων που την περιγράφουν. Π.χ. αν το σύνολο Α περιγράφεται από τις 2 εξισώσεις $latex f(x_1,..,x_n)=0, g(x_1,..,x_n)=0$, η αντίστοιχη, ισοδύναμη εξίσωση που το περιγράφει είναι $latex f^2+g^2=0$. Η ένωση των Α,Β (και φυσικά γενικεύεται και σε περισσότερα από ένα σύνολα) περιγράφεται παίρνοντας το γινόμενο των αντίστοιχων εξισώσεων, κάθε μία ούσα άθροισμα τετραγώνων. To κάθε σύνολο μπορεί να περιγραφεί με μία μόνο εξίσωση, παίρνοντας το άθροισμα των τετραγώνων των εξισώσεων που την περιγράφουν. Π.χ. αν το σύνολο Α περιγράφεται από τις 2 εξισώσεις f(x_1,..,x_n)=0, g(x_1,..,x_n)=0, η αντίστοιχη, ισοδύναμη εξίσωση που το περιγράφει είναι f^2+g^2=0. Η ένωση των Α,Β (και φυσικά γενικεύεται και σε περισσότερα από ένα σύνολα) περιγράφεται παίρνοντας το γινόμενο των αντίστοιχων εξισώσεων, κάθε μία ούσα άθροισμα τετραγώνων.

]]>