Προβλήματα Μαθηματικών

Ιουλίου 13, 2009

Περιγραφή ενός συνόλου μέσω πολυωνυμικών εξισώσεων

Κατηγορίες: Λυμένα Προβλήματα, Με επιπλέον ερωτήματα — Mihalis Kolountzakis @ 12:03 πμ

Ένας τρόπος να περιγράψει κανείς ένα σύνολο σημείων A \subseteq {\mathbb R}^n είναι μέσω κάποιων πολυωνυμικών εξισώσεων που το ορίζουν:

A = \{x \in {\mathbb R}^n: f_i(x) = 0, \forall i=1,2,\ldots,k\}

όπου τα f_i(x) είναι κάποια πολυώνυμα ως προς τις μεταβλητές x=(x_1,\ldots,x_n).

Για παράδειγμα το παρακάτω πολυωνυμικό σύστημα στο {\mathbb R}^3 περιγράφει κάποιο κύκλο στο χώρο:

x^2+y^2+z^2-1 = 0,\ x+y+z = 0.

Φυσικά δεν περιγράφονται όλα τα σύνολα με αυτό τον τρόπο.

Δείξτε ότι αν τα σύνολα A, B \subseteq {\mathbb R}^n περιγράφονται με αυτό τον τρόπο (είναι δηλ. το καθένα από αυτά το σύνολο λύσεων κάποιου συστήματος πολυωνυμικών εξισώσεων) τότε και η ένωση

A \cup B

περιγράφεται κατ’ αυτό τον τρόπο. (Είναι πολύ ευκολότερο να δείτε ότι η τομή A \cap B περιγράφεται από κάποιο πολυωνυμικό σύστημα.)

6 σχόλια »

  1. To κάθε σύνολο μπορεί να περιγραφεί με μία μόνο εξίσωση, παίρνοντας το άθροισμα των τετραγώνων των εξισώσεων που την περιγράφουν. Π.χ. αν το σύνολο Α περιγράφεται από τις 2 εξισώσεις f(x_1,..,x_n)=0, g(x_1,..,x_n)=0, η αντίστοιχη, ισοδύναμη εξίσωση που το περιγράφει είναι f^2+g^2=0. Η ένωση των Α,Β (και φυσικά γενικεύεται και σε περισσότερα από ένα σύνολα) περιγράφεται παίρνοντας το γινόμενο των αντίστοιχων εξισώσεων, κάθε μία ούσα άθροισμα τετραγώνων.

    Σχόλιο από Charalampos Tsourakakis — Ιουλίου 14, 2009 @ 7:51 μμ

  2. Πολώ σωστά.

    Πώς μπορεί κανείς να αποδείξει το ιδιο πράγμα για υποσύνολα του {\mathbb C}^n, όπου φυσικά το a^2+b^2 μπορεί να είναι 0 χωρίς να είναι κανένα από τα a, b μηδέν;

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιουλίου 14, 2009 @ 7:58 μμ

  3. Αν A = \{x \in {\mathbb C}^n : f_i(x)=0 \hspace{0.2 in} \forall i=1,2,\ldots,k\} και B = \{x \in {\mathbb C}^n : g_j(x)=0 \hspace{0.2 in} \forall j=1,2,\ldots,r\} τότε A \cup B = \{x \in {\mathbb C}^n : f_i(x)\cdot g_j(x)=0 \hspace{0.2 in} \forall i=1,2,\ldots,k \hspace{0.2 in} \forall j=1,2,\ldots,r \}, άρα και η ένωση τους περιγράφεται κατά τον ίδιο τρόπο.

    Σχόλιο από stedes — Ιουλίου 17, 2009 @ 3:22 μμ

  4. stedes:

    Αυτή είναι η απάντηση, αλλά χρειάζεται κάποια (μικρή) αιτιολόγηση. Ειδικότερα θέλει αιτιολόγηση το ότι \{x:\ f_i(x)g_j(x)=0, \forall i,j\} \subseteq A \cup B. Η άλλη κατεύθυνση είναι φανερή.

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιουλίου 17, 2009 @ 3:48 μμ

  5. Έστω ότι το y ανήκει στο σύνολο \{x: f_i(x)g_j(x)=0,\forall i,\forall j\}. Τότε ή όλα τα f_i(y) είναι ίσα με 0, άρα το y ανήκει στο A, ή υπάρχει τουλάχιστον ένα m για το οποίο f_m(y) \neq 0. Στη δεύτερη περίπτωση επειδή ισχύει f_m(y)g_j(y)=0 ,\forall j, όλα τα g_j(y) θα είναι ίσα με 0, άρα το y ανήκει στο B. Οπότε σε κάθε περίπτωση το y ανήκει στην ένωση A\cup B.

    Αναρωτιέμαι αν υπάρχει κάτι αντίστοιχο και για το συμπλήρωμα ενός συνόλου.

    Σχόλιο από stedes — Ιουλίου 17, 2009 @ 4:53 μμ

  6. Πολύ σωστά, αυτή απόδειξη καλύπτει οποιοδήποτε σώμα, όχι μόνο τους μιγαδικούς.

    Το συμπλήρωμα δεν μπορεί εν γένει να οριστεί με αυτό τον τρόπο. Για παράδειγμα, όταν έχουμε μια μεταβλητή (υποσύνολα του {\mathbb R} ή του {\mathbb C}) όλα τα σύνολα

    \{x: f_i(x)=0,\ i=1,2,\ldots,m\}

    είναι πεπερασμένα.

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιουλίου 17, 2009 @ 6:15 μμ


Κανάλι RSS για τα σχόλια του άρθρου. TrackBack URI

Γράψτε ένα σχόλιο

Για να σχολιάσετε πρέπει να συνδεθείτε.

Blog στο WordPress.com.