Σχόλια στο L-πλακόστρωση http://kolount.wordpress.com/2009/06/29/l-%cf%80%ce%bb%ce%b1%ce%ba%cf%8c%cf%83%cf%84%cf%81%cf%89%cf%83%ce%b7/ και λύσεις Thu, 17 Dec 2009 13:33:03 +0000 http://wordpress.com/ hourly 1 Από: Mihalis Kolountzakis http://kolount.wordpress.com/2009/06/29/l-%cf%80%ce%bb%ce%b1%ce%ba%cf%8c%cf%83%cf%84%cf%81%cf%89%cf%83%ce%b7/#comment-1038 Mihalis Kolountzakis Mon, 13 Jul 2009 18:39:14 +0000 http://kolount.wordpress.com/?p=906#comment-1038 Πολύ σωστά, έστω και χωρίς ζωγραφιά. Πολύ σωστά, έστω και χωρίς ζωγραφιά.

]]> Από: Charalampos Tsourakakis http://kolount.wordpress.com/2009/06/29/l-%cf%80%ce%bb%ce%b1%ce%ba%cf%8c%cf%83%cf%84%cf%81%cf%89%cf%83%ce%b7/#comment-1037 Charalampos Tsourakakis Mon, 13 Jul 2009 17:20:44 +0000 http://kolount.wordpress.com/?p=906#comment-1037 Αν δεν κάνω λάθος, μια απόδειξη βασίζεται στην επαγωγική μέθοδο. Συγκεκριμένα, για n=1 προφανώς το ζητούμενο ισχύει. Έστω οτι ισχύει για n=k. Τότε μπορούμε να δείξουμε οτι ισχύει και για n=k+1 ως εξής: κόβοντας το $latex 2^{k+1}x2^{k+1}$ τετράγωνο σε τέσσερα $latex 2^{k}x2^{k}$ "υπο"-τετράγωνα, τότε το ένα από τέσσερα περιέχει την κολώνα και με βάση την επαγωγική υπόθεση ικανοποιεί το ζητούμενο. Για τα άλλα τρία μπορούμε να τα πλακοστρώσουμε με ένα L-πλακάκι, όπως αυτού του σχήματος, ώστε καθένα από τα τρία πλακάκια του L-πλακακίου θα πλακοστρώνει ένα τετράγωνακι 1x1 από τα τρία "υπο"-τετράγωνα (εκεί στο σύνορο). Έτσι τώρα τα άλλα 3 $latex 2^{k}x2^{k}$ "υπο"-τετράγωνα θα ικανοποιούν την επαγωγική υπόθεση, γιατί βάζοντας το ένα L-πλακάκι και στα τρία είναι σαν να έχουν τώρα μια κολώνα. Μια ζωγραφιά θα ήταν πιθανώς πολύ καλύτερη από την παραπάνω περιγραφή. Αν δεν κάνω λάθος, μια απόδειξη βασίζεται στην επαγωγική μέθοδο. Συγκεκριμένα, για n=1 προφανώς το ζητούμενο ισχύει. Έστω οτι ισχύει για n=k. Τότε μπορούμε να δείξουμε οτι ισχύει και για n=k+1 ως εξής: κόβοντας το 2^{k+1}x2^{k+1} τετράγωνο σε τέσσερα 2^{k}x2^{k} “υπο”-τετράγωνα, τότε το ένα από τέσσερα περιέχει την κολώνα και με βάση την επαγωγική υπόθεση ικανοποιεί το ζητούμενο. Για τα άλλα τρία μπορούμε να τα πλακοστρώσουμε με ένα L-πλακάκι, όπως αυτού του σχήματος, ώστε καθένα από τα τρία πλακάκια του L-πλακακίου θα πλακοστρώνει ένα τετράγωνακι 1×1 από τα τρία “υπο”-τετράγωνα (εκεί στο σύνορο).
Έτσι τώρα τα άλλα 3 2^{k}x2^{k} “υπο”-τετράγωνα θα ικανοποιούν την επαγωγική υπόθεση, γιατί βάζοντας το ένα L-πλακάκι και στα τρία είναι σαν να έχουν τώρα μια κολώνα.
Μια ζωγραφιά θα ήταν πιθανώς πολύ καλύτερη από την παραπάνω περιγραφή.

]]>