Σχόλια στο Εμβαδόν και περίμετρος http://kolount.wordpress.com/2009/06/21/%ce%b5%ce%bc%ce%b2%ce%b1%ce%b4%cf%8c%ce%bd-%ce%ba%ce%b1%ce%b9-%cf%80%ce%b5%cf%81%ce%af%ce%bc%ce%b5%cf%84%cf%81%ce%bf%cf%82/ και λύσεις Thu, 17 Dec 2009 13:33:03 +0000 http://wordpress.com/ hourly 1 Από: Michalis Loulakis http://kolount.wordpress.com/2009/06/21/%ce%b5%ce%bc%ce%b2%ce%b1%ce%b4%cf%8c%ce%bd-%ce%ba%ce%b1%ce%b9-%cf%80%ce%b5%cf%81%ce%af%ce%bc%ce%b5%cf%84%cf%81%ce%bf%cf%82/#comment-1046 Michalis Loulakis Sat, 18 Jul 2009 15:37:18 +0000 http://kolount.wordpress.com/?p=902#comment-1046 Σωστά. Πολύ ωραία λύση. Σωστά. Πολύ ωραία λύση.

]]> Από: stedes http://kolount.wordpress.com/2009/06/21/%ce%b5%ce%bc%ce%b2%ce%b1%ce%b4%cf%8c%ce%bd-%ce%ba%ce%b1%ce%b9-%cf%80%ce%b5%cf%81%ce%af%ce%bc%ce%b5%cf%84%cf%81%ce%bf%cf%82/#comment-1045 stedes Sat, 18 Jul 2009 14:41:11 +0000 http://kolount.wordpress.com/?p=902#comment-1045 Από τον τύπο του Ήρωνα για το εμβαδό του τριγώνου προκύπτει ότι αρκεί να βρούμε φυσικούς $latex a,b,c$ τέτοιους ώστε να ισχύει $latex (b+c-a)(a+b-c)(a+c-b)=16(a+b+c)$. Από την παραπάνω παρατηρούμε ότι τουλάχιστον ένας παράγοντας του αριστερού μέλους είναι άρτιος, άρα όλοι είναι άρτιοι. Θέτουμε λοιπόν $latex b+c-a=2x, a+b-c=2y, a+c-b=2z$ και η παραπάνω είναι ισοδύναμη με την $latex xyz=4(x+y+z)$ (1). Χωρίς βλάβη της γενικοτητας υποθέτουμε ότι $latex x\ge y\ge z$. Η (1) είναι ισοδύναμη με την $latex (zy-4)(zx-4)=4(z^2+4)$ (2). Διακρίνουμε τώρα δύο περιπτώσεις. 1η Περίπτωση: $latex z=1$ Η (2) γίνεται $latex (y-4)(x-4)=20$ από την οποία παίρνουμε τις λύσεις $latex (y,x) = (5,24), (6,14)$ ή $latex (8,9)$. 2η Περίπτωση: $latex z\ge 2$ Ισχύει $latex 4(z^2+4)=(zy-4)(zx-4)\ge (z^2-4)(z^2-4) \Rightarrow 12z^2-z^4\ge 0 \Rightarrow$ $latex \Rightarrow z\le 2\sqrt{3} \Rightarrow z=2$ ή $latex 3$. Αν $latex z=2$, η (2) γίνεται $latex (y-2)(x-2)=8$ από την οποία παίρνουμε τις λύσεις $latex (y,x) = (3,10)$ ή $latex (4,6)$. Αν $latex z=3$, η (2) έχει λύση την $latex (y,x) = (2,10)$ η οποία δεν είναι αποδεκτή γιατί $latex z\le y$. Άρα τελικά βρήκαμε 5 λύσεις για τις οποίες τα αντίστοιχα $latex a,b,c$ είναι τα εξής: $latex (a,b,c) = (6,29,25), (7,20,15), (9,17,10), (5,13,12), (6,10,8)$. Από τον τύπο του Ήρωνα για το εμβαδό του τριγώνου προκύπτει ότι αρκεί να βρούμε φυσικούς a,b,c τέτοιους ώστε να ισχύει (b+c-a)(a+b-c)(a+c-b)=16(a+b+c).
Από την παραπάνω παρατηρούμε ότι τουλάχιστον ένας παράγοντας του αριστερού μέλους είναι άρτιος, άρα όλοι είναι άρτιοι.
Θέτουμε λοιπόν b+c-a=2x, a+b-c=2y, a+c-b=2z και η παραπάνω είναι ισοδύναμη με την xyz=4(x+y+z) (1).
Χωρίς βλάβη της γενικοτητας υποθέτουμε ότι x\ge y\ge z.
Η (1) είναι ισοδύναμη με την (zy-4)(zx-4)=4(z^2+4) (2).
Διακρίνουμε τώρα δύο περιπτώσεις.
1η Περίπτωση: z=1
Η (2) γίνεται (y-4)(x-4)=20 από την οποία παίρνουμε τις λύσεις (y,x) = (5,24), (6,14) ή (8,9).
2η Περίπτωση: z\ge 2
Ισχύει 4(z^2+4)=(zy-4)(zx-4)\ge (z^2-4)(z^2-4) \Rightarrow 12z^2-z^4\ge 0 \Rightarrow
\Rightarrow z\le 2\sqrt{3} \Rightarrow z=2 ή 3.
Αν z=2, η (2) γίνεται (y-2)(x-2)=8 από την οποία παίρνουμε τις λύσεις (y,x) = (3,10) ή (4,6).
Αν z=3, η (2) έχει λύση την (y,x) = (2,10) η οποία δεν είναι αποδεκτή γιατί z\le y.
Άρα τελικά βρήκαμε 5 λύσεις για τις οποίες τα αντίστοιχα a,b,c είναι τα εξής:
(a,b,c) = (6,29,25), (7,20,15), (9,17,10), (5,13,12), (6,10,8).

]]> Από: mcdallas http://kolount.wordpress.com/2009/06/21/%ce%b5%ce%bc%ce%b2%ce%b1%ce%b4%cf%8c%ce%bd-%ce%ba%ce%b1%ce%b9-%cf%80%ce%b5%cf%81%ce%af%ce%bc%ce%b5%cf%84%cf%81%ce%bf%cf%82/#comment-1030 mcdallas Wed, 24 Jun 2009 16:00:22 +0000 http://kolount.wordpress.com/?p=902#comment-1030 Λαθος μου δε το διαβασα σωστα νομιζα ψαχναμε μονο ορθογωνια γι αυτο παραξενευτηκα που βρηκα μονο 1 οταν ειπες "λιγα" Λαθος μου δε το διαβασα σωστα νομιζα ψαχναμε μονο ορθογωνια γι αυτο παραξενευτηκα που βρηκα μονο 1 οταν ειπες “λιγα”

]]> Από: Michalis Loulakis http://kolount.wordpress.com/2009/06/21/%ce%b5%ce%bc%ce%b2%ce%b1%ce%b4%cf%8c%ce%bd-%ce%ba%ce%b1%ce%b9-%cf%80%ce%b5%cf%81%ce%af%ce%bc%ce%b5%cf%84%cf%81%ce%bf%cf%82/#comment-1027 Michalis Loulakis Wed, 24 Jun 2009 15:33:52 +0000 http://kolount.wordpress.com/?p=902#comment-1027 Αυτά είναι τα ορθογώνια τρίγωνα που έχουν την ιδιότητα. Υπάρχουν και μερικά που δεν είναι ορθογώνια... Αυτά είναι τα ορθογώνια τρίγωνα που έχουν την ιδιότητα. Υπάρχουν και μερικά που δεν είναι ορθογώνια…

]]> Από: mcdallas http://kolount.wordpress.com/2009/06/21/%ce%b5%ce%bc%ce%b2%ce%b1%ce%b4%cf%8c%ce%bd-%ce%ba%ce%b1%ce%b9-%cf%80%ce%b5%cf%81%ce%af%ce%bc%ce%b5%cf%84%cf%81%ce%bf%cf%82/#comment-1025 mcdallas Wed, 24 Jun 2009 12:54:46 +0000 http://kolount.wordpress.com/?p=902#comment-1025 Εστω χ,ψ,ζ οι πλευρες του ζητουμενου τριγωνου, θελουμε να ισχυουν τα εξης : χ^2 + ψ^2 = ζ^2 και 1/2(χψ)=χ + ψ + ζ . Λυνοντας το συστημα τών διοφαντικών εξισώσεων καταληγουμε σε μια σχεση της μορφης χψ + 8 = 4χ + 4ψ λυνοντας ως προς χ περνουμε χ = (8-4ψ)/(4-ψ) ή χ = 4 - 8/4-ψ και επειδη θελουμε ο χ να ειναι ακέραιος (και > 0) 8α πρεπει το κλασμα να ειναι ακέραιο δηλαδή το 4-ψ να είναι διαιρέτης του 8. Ετσι περνουμε 4-ψ = +- 8 ή +-4 ή +- 2 ή +-1 ==> ψ = -4 ή 0 ή 2 ή 3 ή 5 ή 6 ή 8 ή 12 Προφανώς οι 2 πρώτες απορίπτονται γιατι το ψ εκφράζει μηκος οπότε αντικα8ιστούμε στην σχέση χ = 4 8/4-ψ τα ψ που βρήκαμε και περνουμε : χ = 0 ή -4 ή 12 ή 8 ή 6 ή 5 πάλι οι 2 πρώτες αποριπτονται και ετσι μας μενουν οι 2 πυθαγόριες τριάδες (5,12,13) και (6,8,10) απέφυγα να γραψω τις πολλες πράξεις γιατι δεν εχω ιδέα πως να γραφω με μαθηματικα σύμβολα Εστω χ,ψ,ζ οι πλευρες του ζητουμενου τριγωνου, θελουμε να ισχυουν τα εξης : χ^2 + ψ^2 = ζ^2 και 1/2(χψ)=χ + ψ + ζ . Λυνοντας το συστημα τών διοφαντικών εξισώσεων καταληγουμε σε μια σχεση της μορφης χψ + 8 = 4χ + 4ψ λυνοντας ως προς χ περνουμε

χ = (8-4ψ)/(4-ψ) ή χ = 4 – 8/4-ψ και επειδη θελουμε ο χ να ειναι ακέραιος (και > 0) 8α πρεπει το κλασμα να ειναι ακέραιο δηλαδή το 4-ψ να είναι διαιρέτης του 8.

Ετσι περνουμε 4-ψ = +- 8 ή +-4 ή +- 2 ή +-1 ==> ψ = -4 ή 0 ή 2 ή 3 ή 5 ή 6 ή 8 ή 12
Προφανώς οι 2 πρώτες απορίπτονται γιατι το ψ εκφράζει μηκος οπότε αντικα8ιστούμε στην σχέση χ = 4 8/4-ψ τα ψ που βρήκαμε και περνουμε :
χ = 0 ή -4 ή 12 ή 8 ή 6 ή 5 πάλι οι 2 πρώτες αποριπτονται και ετσι μας μενουν οι 2 πυθαγόριες τριάδες (5,12,13) και (6,8,10)

απέφυγα να γραψω τις πολλες πράξεις γιατι δεν εχω ιδέα πως να γραφω με μαθηματικα σύμβολα

]]> Από: charav http://kolount.wordpress.com/2009/06/21/%ce%b5%ce%bc%ce%b2%ce%b1%ce%b4%cf%8c%ce%bd-%ce%ba%ce%b1%ce%b9-%cf%80%ce%b5%cf%81%ce%af%ce%bc%ce%b5%cf%84%cf%81%ce%bf%cf%82/#comment-1023 charav Sun, 21 Jun 2009 13:30:47 +0000 http://kolount.wordpress.com/?p=902#comment-1023 Συγχωρέστε με. Λάθος απο κεκτημένη ταχύτητα. Συγχωρέστε με. Λάθος απο κεκτημένη ταχύτητα.

]]> Από: charav http://kolount.wordpress.com/2009/06/21/%ce%b5%ce%bc%ce%b2%ce%b1%ce%b4%cf%8c%ce%bd-%ce%ba%ce%b1%ce%b9-%cf%80%ce%b5%cf%81%ce%af%ce%bc%ce%b5%cf%84%cf%81%ce%bf%cf%82/#comment-1022 charav Sun, 21 Jun 2009 13:29:41 +0000 http://kolount.wordpress.com/?p=902#comment-1022 Ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές 3,4,5. Ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές 3,4,5.

]]>