Προβλήματα Μαθηματικών

Ιουνίου 11, 2009

Είναι η ταυτοτική;

Κατηγορίες: Λυμένα Προβλήματα, Με επιπλέον ερωτήματα — Themis Mitsis @ 12:40 πμ

Έστω f:\mathbb R\to\mathbb R μια συνάρτηση τέτοια ώστε f(1)=1 και f(x+y)=f(x)+f(y) για κάθε x,y. Τι μπορείτε να πείτε για την f;
Υπάρχει μια προφανής f με αυτές τις ιδιότητες. Είναι η μοναδική; Προσέξτε ότι δεν κάνουμε καμία άλλη υπόθεση για την f. Επομένως θα πρέπει εσείς να μαντέψετε τους ασθενέστερους δυνατούς περιορισμούς ώστε το πρόβλημα να έχει απάντηση (αν φυσικά πιστεύετε ότι χρειάζονται κάποιοι περιορισμοί).

19 σχόλια »

  1. Κάποιες γενικές σκέψεις. Η f(x+y)= f(x)+f(y)(1)ικανοποιείται από κάθε συνεχή συνάρτηση f:R->R της μορφής f(x)= ax για κάποιο α πραγματικό και για κάθε x πραγματικό. Επίσης γνωρίζουμε ότι αν μια συνάρτηση f:R->R ικανοποιεί την (1) αλλά και την εξίσωση f(xy)=f(x)f(y), τότε f(x)= 0 ή f(x)=x για κάθε x.

    Σχόλιο από charav — Ιουνίου 11, 2009 @ 1:47 πμ

  2. Θετικές οι γενικές σκέψεις.
    Αν υποθέσουμε ότι η f είναι συνεχής, τότε είναι αναγκαστικά η ταυτοτική.
    Το ερώτημα είναι: χρειάζεται η συνέχεια;

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Ιουνίου 11, 2009 @ 11:16 πμ

  3. Έστω μια f:R\rightarrow R η οποία ικανοποιεί την f(x+y)=f(x)+f(y) για κάθε x,y πραγματικούς. Τότε υπάρχει ένας πραγματικός ”α” τέτοιος ώστε να ισχύει f(q)=aq για όλους τους ρητούς αριθμούς q.

    Σχόλιο από charav — Ιουνίου 11, 2009 @ 11:59 μμ

  4. Σωστά.
    Αυτό είναι το μόνο που μπορεί να πει κανείς για την f αν δεν κάνει κάποια άλλη υπόθεση.
    Αν τώρα υποθέσει ότι είναι συνεχής, τότε, όπως ανέφερα και στο προηγούμενο σχόλιο, η σχέση f(x)=ax ισχύει για κάθε x\in\mathbb R.
    Μήπως όμως στο ίδιο συμπέρασμα μπορούμε να καταλήξουμε και από κάτι πολύ ασθενέστερο τής συνέχειας;

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Ιουνίου 12, 2009 @ 12:48 πμ

  5. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια f:R\rightarrow R η οποία και πάλι δεν γνωρίζουμε ότι είναι συνεχής. Αν όμως θεωρήσουμε ότι έχουμε ένα διάστημα [c,d] στο οποίο διάστημα η f είναι φραγμένη από κάτω στο [c,d] τότε υπάρχει τέτοιος ”α” πραγμαικός που να ικανοποιεί την f(x)=ax.

    Σχόλιο από charav — Ιουνίου 12, 2009 @ 10:42 πμ

  6. Μπορείς να μας το αναπτύξεις λίγο;

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Ιουνίου 12, 2009 @ 10:44 πμ

  7. Φυσικά. Συγχωρέστε με μόνο που θα τα γράψω σε άσχημη μορφή, γιατί οι γνώσεις μου σε Latex είναι περιορισμένες. Η παραπάνω πρόταση που έβαλα δηλώνει με άλλο τρόπο, ότι υπάρχει ένας πραγματικός αριθμός Α τέτοιος ώστε f(x)> ή = Α για κάθε c=<x<=d.Όμως κάθε συνεχής συνάρτηση είναι φραγμένη σε κλειστό διάστημα από το θεώρημα της μέγιστης τιμής. Επίσης αν θέλουμε μια κλάση συναρτήσεων συναρτήσεων η οποία είναι φραγμένη σε ένα κλειστό διάστημα είναι η κλάση των μονότονων συναρτήσεων.

    Σχόλιο από charav — Ιουνίου 12, 2009 @ 11:09 πμ

  8. Αυτό που θα ήθελα να μας πεις είναι πώς δείχνεις ότι αν η f είναι φραγμένη σ’ ένα κλειστό διάστημα τότε είναι γραμμική (σωστό είναι).

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Ιουνίου 12, 2009 @ 3:36 μμ

  9. Ζητάτε την απόδειξη δηλαδη?

    Σχόλιο από charav — Ιουνίου 12, 2009 @ 3:43 μμ

  10. Ναι. Δεν φαίνεται να είναι κάτι που το γνωρίζουν όλοι.

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Ιουνίου 12, 2009 @ 3:45 μμ

  11. Ok. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι ικανοποιεί την εξίσωση του Cauchy, η οποία είναι επίσης και μονότονη. Έστω αύξουσα. Τότε για κάθε διάστημα [c,d] των πραγματικών, μπορούμε να θέσουμε A=f(c) και άρα f(x)>A ή ίσο. Άρα f(x)=ax όπου a>0 ή ίσος με 0. Κατι το οποίο οφείλεται στην μονοτονία.

    Σχόλιο από charav — Ιουνίου 12, 2009 @ 4:02 μμ

  12. Ζητάμε την απόδειξη τού εξής:

    Αν f(x+y)=f(x)+f(y) για κάθε x,y, και υπάρχει ένα διάστημα I και μια σταθερά M>0 τέτοια ώστε |f(x)|\leq M για κάθε x\in I, τότε η f είναι γραμμική.

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Ιουνίου 12, 2009 @ 4:57 μμ

  13. Βήμα 1ο. Αρχικά δείχνουμε f(nx)=nx.
    Βήμα 2ο. θεωρούμε p τέτοιο ώστε c<p<d, και δειχνουμε οτι η f είναι φραγμένη από κάτω στο διάστημα [0,p].
    Βήμα 3ο. Θεωρούμε μια καινούργια συνάρτηση h(x)=f(x)+(f(p)/p)x. Δείχνουμε ότι η h ικανοποιεί την εξίσωση που ζητάμε, καθώς επίσης είναι και αυτή φραγμένη από κάτω στο [0,p].
    Βήμα 4ο. Δείχνουμε ότι η h είναι περιοδική με περίοδο p έτσι h(x+p)=h(x)
    Βήμα 5ο. Υποθέτουμε ότι η υπάρχει x_0 ώστε h(x_0) να είναι διαφορετκό του μηδενός. Άτοπο, γιατί η ακολουθία h(nx_0) δεν είναι είναι φραγμένη απο κάτω.
    Βήμα 6ο. Άρα η h(x)=0, και έχουμε το ζητούμενο.

    Σχόλιο από charav — Ιουνίου 12, 2009 @ 5:26 μμ

  14. Σωστά.
    Φυσικά, στο 1 εννοείς f(nx)=nf(x) και στο 3 h(x)=f(x)-(f(p)/p)x. Επίσης, για ασφάλεια, κάνε το “κάτω φραγμένη” “φραγμένη”.

    Η ασθενέστερη συνθήκη που μπορώ να σκεφτώ είναι ότι η συνάρτηση είναι φραγμένη σ’ ένα σύνολο θετικού μέτρου. Δοκιμάστε να το αποδείξετε. Δείτε εδώ για ασυνεχείς λύσεις τής εξίσωσης Cauchy.

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Ιουνίου 12, 2009 @ 6:29 μμ

  15. Ναι. Συγγνώμη για τα τυπογραφικά.

    Σχόλιο από charav — Ιουνίου 12, 2009 @ 6:43 μμ

  16. Γεια σας, πολύ καλή δουλειά στο blog! Μόλις τέλειωσα το Λύκειο και δεν έχω και τις απιτούμενες γνώσεις, αλλά να κάποιες σκέψεις μου στο συγκεκριμένο:
    α) Αρχικά δείχνουμε ότι f(0)=0 κι έπειτα βάζοντας όπου y=-x δείχνουμε ότι η f είναι περιττή. Έπειτα, με επαγωγή, δείχνουμε εύκολα ότι f(νx)=νf(x) για κάθε φυσικό αριθμό (χωρίς το 0), επειδή για ν=1 ισχύει από την υπόθεση. Μετά, για ν=1, η τελευταία σχέση γράφεται f(ν)=νf(1)=ν για κάθε φυσικό (με το 0). Χρησιμοποιώντας ότι η f είναι περιττή επεκτείνουμε την τελευταία σχέση στο σύνολο των ακεραίων, άρα f(κ)=κ για κάθε κ ακέραιο. Εδώ σταμάτησα, δεν μπόρεσα να βρω τρόπο να επεκτείνω τη σχέση ούτε στους ρητούς ούτε στους πραγματικούς για να πούμε ότι η f είναι ταυτοτική.
    β) Έχω πολλές αμφιβολίες γι’ αυτό και πρέπει να ναι λάθος. Λοιπόν, έστω ότι η f δεν είναι η ταυτοτική. Τότε θα υπάρχει ένας πραγματικός ξ τέτοιος ώστε f(ξ)#ξ. Έστω ένας άλλος πραγματικός, h#0, διαφορετικός του ξ. Έχουμε στην τελευταία σχέση:
    f(ξ)#ξf(ξ)+f(h)#ξ+f(h)f(ξ+h)#ξ+f(h)
    Αφού ο h#0, o αριθμός ξ+h#ξ, άρα γι’ αυτόν η f είναι ταυτοτική, άρα f(ξ+h)=ξ+h. Άρα ξ+h#ξ+f(h) και f(h)#h. Άτοπο, αφού ο h#ξ και πρέπει f(h)=h, να είναι η f ταυτοτική. Πάντα θα υπάρχει δηλαδή ένας h πραγματικός, για οποιονδήποτε αριθμό σημείων του R που η f δεν είναι ταυτοτική στο οποίο θα είναι. Είναι χαζό, δε νομίζω να μπορώ να υποθέσω ότι αν δεν είναι η f ταυτοτική σ ένα σημείο είναι σε όλα τα υπόλοιπα.

    Σχόλιο από dimokratis — Ιουνίου 13, 2009 @ 1:17 μμ

  17. Ναι, δεν μπορείς να καταλήξεις σε άτοπο, γιατί δεν υπάρχει άτοπο.
    Αν δεν κάνεις κάποια επιπλέον υπόθεση για τη συνάρτηση, μπορεί να είναι η ταυτοτική στους ρητούς, αλλά όχι παντού. Δοκίμασε, πάντως, να δείξεις ότι είναι όντως η ταυτοτική στους ρητούς. Το m/n είναι m φορές το 1/n, και το 1 είναι n φορές το 1/n.

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Ιουνίου 13, 2009 @ 2:26 μμ

  18. Αυτο που ισχυει ειναι οτι αν η συναρτηση f ειναι συνεχης σε ενα σημειο του R τοτε f(x)=x για καθε πραγματικο x.Αυτο που δεν ξερω ειναι αν υπαρχει f ασυνεχης παντου με αυτην την ιδιοτητα

    Σχόλιο από serial11 — Οκτωβρίου 4, 2009 @ 12:25 πμ

  19. Ναι υπάρχουν ασυνεχείς συναρτήσεις με αυτήν την ιδιότητα. Δες το σχόλιο 14.

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Οκτωβρίου 4, 2009 @ 12:49 πμ


Κανάλι RSS για τα σχόλια του άρθρου. TrackBack URI

Γράψτε ένα σχόλιο

Για να σχολιάσετε πρέπει να συνδεθείτε.

Blog στο WordPress.com.