Σχόλια στο Μιγαδικά πολυώνυμα http://kolount.wordpress.com/2009/05/14/%ce%bc%ce%b9%ce%b3%ce%b1%ce%b4%ce%b9%ce%ba%ce%ac-%cf%80%ce%bf%ce%bb%cf%85%cf%8e%ce%bd%cf%85%ce%bc%ce%b1/ και λύσεις Thu, 17 Dec 2009 13:33:03 +0000 http://wordpress.com/ hourly 1 Από: Themis Mitsis http://kolount.wordpress.com/2009/05/14/%ce%bc%ce%b9%ce%b3%ce%b1%ce%b4%ce%b9%ce%ba%ce%ac-%cf%80%ce%bf%ce%bb%cf%85%cf%8e%ce%bd%cf%85%ce%bc%ce%b1/#comment-980 Themis Mitsis Mon, 25 May 2009 17:42:53 +0000 http://kolount.wordpress.com/?p=872#comment-980 <strong>Υπόδειξη:</strong> Στη Μιγαδική Ανάλυση υπάρχει το εξής αποτέλεσμα που παίζει το ρόλο τού Weierstrass (<strong>δεν</strong> είναι ειδική περίπτωση τού κλασικού Stone-Weierstrass) . Έστω $latex U\subset\mathbb C$ ανοιχτό, $latex f$ αναλυτική στο $latex U$, και $latex K\subset U$ συμπαγές τέτοιο ώστε το $latex \mathbb C\smallsetminus K$ είναι συνεκτικό. Τότε για κάθε $latex \varepsilon>0$ υπάρχει πολυώνυμο $latex P$ τέτοιο ώστε $latex {\displaystyle\sup_{z\in K}|f(z)-P(z)|<\varepsilon.}$ Το σχήμα <a href="http://fourier.math.uoc.gr/~mitsis/pics/runge.jpg" rel="nofollow">αυτό</a>, αν δεν σας μπερδέψει τελείως, θα σας βοηθήσει να εφαρμόσετε το θεώρημα. Η ένωση των έγχρωμων περιοχών είναι το σύνολο $latex K$. Υπόδειξη:

Στη Μιγαδική Ανάλυση υπάρχει το εξής αποτέλεσμα που παίζει το ρόλο τού Weierstrass (δεν είναι ειδική περίπτωση τού κλασικού Stone-Weierstrass) .

Έστω U\subset\mathbb C ανοιχτό, f αναλυτική στο U, και K\subset U συμπαγές τέτοιο ώστε το \mathbb C\smallsetminus K είναι συνεκτικό. Τότε για κάθε \varepsilon>0 υπάρχει πολυώνυμο P τέτοιο ώστε

{\displaystyle\sup_{z\in K}|f(z)-P(z)|<\varepsilon.}

Το σχήμα αυτό, αν δεν σας μπερδέψει τελείως, θα σας βοηθήσει να εφαρμόσετε το θεώρημα. Η ένωση των έγχρωμων περιοχών είναι το σύνολο K.

]]>