Προβλήματα Μαθηματικών

Μαΐου 13, 2009

Αδύνατη παρεμβολή

Κατηγορίες: Άλυτα Προβλήματα, Με υπόδειξη — Mihalis Kolountzakis @ 10:01 πμ

Γνωρίζουμε ότι αν μας δώσουν n διαφορετικούς πραγματικούς αριθμούς x_1,\ldots,x_n και n πραγματικές τιμές v_1,\ldots,v_n τότε μπορούμε να βρούμε ένα πολυώνυμο βαθμού το πολύ n-1

p(x) = \lambda_0 + \lambda_1 x + \cdots + \lambda_{n-1} x^{n-1}

το οποίο παρεμβάλει τις τιμές v_i στα σημεία x_i:

p(x_i) = v_i,\ \ i=1,2,\ldots,n.

Ένας άλλος τρόπος να πούμε το ίδιο πράγμα είναι ότι πάντα (για κάθε x_i, v_i, x_i διαφορετικά) μπορούμε να βρούμε ένα γραμμικό συνδυασμό των συναρτήσεων

u_1(x)=1, u_2(x)=x, u_3(x)=x^2, \ldots, u_n(x)=x^{n-1}

που παίρνει τις τιμές v_i στα x_i.

Δείξτε ότι αυτό δεν είναι δυνατό στο επίπεδο: για n \ge 2 δεν υπάρχουν συνεχείς συναρτήσεις u_1, \ldots, u_n:{\mathbb R}^2 \to {\mathbb R} τέτοιες ώστε για κάθε n σημεία x_1,\ldots,x_n \in {\mathbb R}^2 και κάθε n τιμές v_1, \ldots, v_n \in {\mathbb R} να υπάρχει γραμμικός συνδυασμός

F(x) = \lambda_1 u_1(x) + \cdots + \lambda_n u_n(x)

που να παρεμβάλει: F(x_i) = v_i για i=1, 2, \ldots, n.

3 σχόλια »

  1. Υπόδειξη:

    Το να μπορούμε να παρεμβάλουμε οποιαδήποτε v_i στα σημεία x_i μ’ένα γραμμικό συνδυασμό των συναρτήσεων u_j(x) σημαίνει κάτι για τον πίνακα

    A_{ij} = u_i(x_j),\ \ i,j=1,2,\ldots,n.

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Μαΐου 20, 2009 @ 12:57 πμ

  2. Υπόδειξη:

    Αν μπορούσαμε να παρεμβάλουμε οποιεσδήποτε τιμές αυτό θα σήμαινε ότι για κάθε επιλογή σημείων x_j ο πίνακας A (της προηγούμενης υπόδειξης) είναι αντιστρέψιμος (αφού μπορούμε να λύσουμε το γραμμικό σύστημα \sum_{i=1}^n A_{i,j} \lambda_i = v_j όποια και να είναι τα v_j).

    Άρα πρέπει {\rm det} (u_i(x_j)) \neq 0 όποια και να είναι τα x_j. Προσπαθείστε να μετακινήσετε συνεχώς τα σημεία x_j στο επίπεδο ώστε να επιτύχετε μηδενισμό της ορίζουσας κάπου καταλήγοντας σε άτοπο.

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιουνίου 1, 2009 @ 11:51 μμ

  3. Υπόδειξη:

    Εξετάστε τις τιμές της ορίζουσας στη n-άδα σημείων x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n και στη n-άδα σημείων x_2, x_1, x_3, \ldots, x_n.

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιουνίου 22, 2009 @ 7:39 πμ


Κανάλι RSS για τα σχόλια του άρθρου. TrackBack URI

Γράψτε ένα σχόλιο

Για να σχολιάσετε πρέπει να συνδεθείτε.

Blog στο WordPress.com.