Σχόλια στο Τρίγωνα http://kolount.wordpress.com/2009/05/08/%cf%84%cf%81%ce%af%ce%b3%cf%89%ce%bd%ce%b1/ και λύσεις Thu, 17 Dec 2009 13:33:03 +0000 http://wordpress.com/ hourly 1 Από: Themis Mitsis http://kolount.wordpress.com/2009/05/08/%cf%84%cf%81%ce%af%ce%b3%cf%89%ce%bd%ce%b1/#comment-979 Themis Mitsis Fri, 22 May 2009 16:11:44 +0000 http://kolount.wordpress.com/?p=827#comment-979 <strong>Υπόδειξη</strong>: Αν το $latex A$ έχει θετικό εμβαδό, τότε υπάρχει μια ευθεία $latex \ell$ τέτοια ώστε η τομή $latex A\cap\ell$ έχει θετικό μήκος. Χρησιμοποιήστε τώρα το θεώρημα που αναφέρει ο Δημήτρης. Υπόδειξη:

Αν το A έχει θετικό εμβαδό, τότε υπάρχει μια ευθεία \ell τέτοια ώστε η τομή A\cap\ell έχει θετικό μήκος. Χρησιμοποιήστε τώρα το θεώρημα που αναφέρει ο Δημήτρης.

]]> Από: Themis Mitsis http://kolount.wordpress.com/2009/05/08/%cf%84%cf%81%ce%af%ce%b3%cf%89%ce%bd%ce%b1/#comment-968 Themis Mitsis Fri, 15 May 2009 22:57:40 +0000 http://kolount.wordpress.com/?p=827#comment-968 Ο Δημήτρης παραπάνω εννοεί μετρήσιμο υποσύνολο <strong><em>μη-μηδενικού</em></strong> μέτρου. Ο Δημήτρης παραπάνω εννοεί μετρήσιμο υποσύνολο μη-μηδενικού μέτρου.

]]> Από: Δημήτρης http://kolount.wordpress.com/2009/05/08/%cf%84%cf%81%ce%af%ce%b3%cf%89%ce%bd%ce%b1/#comment-967 Δημήτρης Wed, 13 May 2009 22:11:30 +0000 http://kolount.wordpress.com/?p=827#comment-967 Για το αρχικό πρόβλημα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το θεώρημα του Steinhaus που λέει ότι για κάθε μετρήσιμο υποσύνολο Α του $latex \mathbb{R}$, το $latex A-A = \{x-y:x,y \in A\}$ περιέχει μια περιοχή του 0. Για το αρχικό πρόβλημα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το θεώρημα του Steinhaus που λέει ότι για κάθε μετρήσιμο υποσύνολο Α του \mathbb{R}, το A-A = \{x-y:x,y \in A\} περιέχει μια περιοχή του 0.

]]> Από: Themis Mitsis http://kolount.wordpress.com/2009/05/08/%cf%84%cf%81%ce%af%ce%b3%cf%89%ce%bd%ce%b1/#comment-965 Themis Mitsis Wed, 13 May 2009 19:49:53 +0000 http://kolount.wordpress.com/?p=827#comment-965 Το (1) που ανέφερα παραπάνω δεν φαίνεται να είναι γνωστό. Δίνω μια απόδειξη για όσους είναι περίεργοι και τους αρέσουν τα άκρως μη-κατασκευαστικά μαθηματικά. Ας πούμε ότι ένα σύνολο έχει την ιδιότητα (Ε) αν περιέχει τις κορυφές ενός τριγώνου με μοναδιαίο εμβαδό. Τώρα, ο πληθάριθμος τής οικογένειας όλων των συνόλων Borel θετικού μέτρου στο επίπεδο είναι $latex 2^{\aleph_0}$, επομένως αν δεχτούμε την Υπόθεση τού Συνεχούς, μπορούμε να έχουμε μια υπερπεπερασμένη αρίθμηση αυτής τής οικογένειας, έστω $latex \{B_\xi:\xi<\omega_1\}$, όπου $latex \omega_1$ είναι ο πρώτος υπεραριθμήσιμος διατακτικός αριθμός. Επιλέγουμε $latex x_0\in B_0$, και για $latex \xi<\omega_1$, έστω ότι τα $latex x_\alpha$, $latex \alpha<\xi$, έχουν επιλεγεί έτσι ώστε το σύνολο $latex \{x_\alpha:\alpha<\xi\}$ δεν έχει την ιδιότητα (Ε). Για όλα τα ζευγάρια $latex (x_\alpha,x_\beta)$, $latex \alpha<\beta<\xi$, το σύνολο των $latex x$ για τα οποία το τρίγωνο με κορυφές $latex x_\alpha,x_\beta,x$ έχει εμβαδό $latex 1$, έχει μέτρο μηδέν (αποτελείται από δυο ευθείες παράλληλες στο ευθύγραμμο τμήμα $latex x_\alpha x_\beta$). Έτσι, αφού το $latex \{(x_\alpha,x_\beta):\alpha<\beta<\xi\}$ είναι αριθμήσιμο και το $latex B_\xi$ έχει θετικό μέτρο, μπορούμε να βρούμε $latex x_\xi\in B_\xi$ τέτοιο ώστε το σύνολο $latex \{x_\alpha:\alpha<\xi\}\cup\{x_\xi\}$ δεν έχει την ιδιότητα (Ε). Θέτουμε $latex {A=\{x_\xi:\xi<\omega_1\}}$ . Τότε το $latex A$ δεν έχει την ιδιότητα (Ε) και είναι άπειρου εξωτερικού μέτρου, αφού τέμνει κάθε σύνολο Borel θετικού μέτρου. Το (1) που ανέφερα παραπάνω δεν φαίνεται να είναι γνωστό.
Δίνω μια απόδειξη για όσους είναι περίεργοι και τους αρέσουν τα άκρως μη-κατασκευαστικά μαθηματικά.

Ας πούμε ότι ένα σύνολο έχει την ιδιότητα (Ε) αν περιέχει τις κορυφές ενός τριγώνου με μοναδιαίο εμβαδό.
Τώρα, ο πληθάριθμος τής οικογένειας όλων των συνόλων Borel θετικού μέτρου στο επίπεδο είναι 2^{\aleph_0}, επομένως αν δεχτούμε την Υπόθεση τού Συνεχούς, μπορούμε να έχουμε μια υπερπεπερασμένη αρίθμηση αυτής τής οικογένειας, έστω \{B_\xi:\xi<\omega_1\}, όπου \omega_1 είναι ο πρώτος υπεραριθμήσιμος διατακτικός αριθμός. Επιλέγουμε x_0\in B_0, και για \xi<\omega_1, έστω ότι τα x_\alpha, \alpha<\xi, έχουν επιλεγεί έτσι ώστε το σύνολο \{x_\alpha:\alpha<\xi\} δεν έχει την ιδιότητα (Ε). Για όλα τα ζευγάρια (x_\alpha,x_\beta), \alpha<\beta<\xi, το σύνολο των x για τα οποία το τρίγωνο με κορυφές x_\alpha,x_\beta,x έχει εμβαδό 1, έχει μέτρο μηδέν (αποτελείται από δυο ευθείες παράλληλες στο ευθύγραμμο τμήμα x_\alpha x_\beta). Έτσι, αφού το \{(x_\alpha,x_\beta):\alpha<\beta<\xi\} είναι αριθμήσιμο και το B_\xi έχει θετικό μέτρο, μπορούμε να βρούμε x_\xi\in B_\xi τέτοιο ώστε το σύνολο \{x_\alpha:\alpha<\xi\}\cup\{x_\xi\} δεν έχει την ιδιότητα (Ε). Θέτουμε {A=\{x_\xi:\xi<\omega_1\}} . Τότε το A δεν έχει την ιδιότητα (Ε) και είναι άπειρου εξωτερικού μέτρου, αφού τέμνει κάθε σύνολο Borel θετικού μέτρου.

]]> Από: Themis Mitsis http://kolount.wordpress.com/2009/05/08/%cf%84%cf%81%ce%af%ce%b3%cf%89%ce%bd%ce%b1/#comment-964 Themis Mitsis Tue, 12 May 2009 23:11:55 +0000 http://kolount.wordpress.com/?p=827#comment-964 Το πρόβλημα αυτό, χωρίς να είναι ιδιαίτερα δύσκολο, δεν είναι τόσο "αθώο" όσο δείχνει. (1) Αν κανείς δεχτεί την Υπόθεση τού Συνεχούς (!), αποδεικνύεται ότι υπάρχει σύνολο με άπειρο εξωτερικό μέτρο το οποίο δεν περιέχει τις κορυφές τριγώνου με μοναδιαίο εμβαδό. (2) Η ακόλουθη παραλλαγή είναι ανοιχτό πρόβλημα: Υπάρχει κάποια σταθερά $latex a>0$ τέτοια ώστε κάθε σύνολο με εμβαδό μεγαλύτερο από $latex a$ να περιέχει τις κορυφές ενός τριγώνου με μοναδιαίο εμβαδό; Ο Erdös πρόσφερε κάποιο (γελοίο) ποσό για την επίλυσή του. Το πρόβλημα αυτό, χωρίς να είναι ιδιαίτερα δύσκολο, δεν είναι τόσο “αθώο” όσο δείχνει.

(1) Αν κανείς δεχτεί την Υπόθεση τού Συνεχούς (!), αποδεικνύεται ότι υπάρχει σύνολο με άπειρο εξωτερικό μέτρο το οποίο δεν περιέχει τις κορυφές τριγώνου με μοναδιαίο εμβαδό.

(2) Η ακόλουθη παραλλαγή είναι ανοιχτό πρόβλημα:

Υπάρχει κάποια σταθερά a>0 τέτοια ώστε κάθε σύνολο με εμβαδό μεγαλύτερο από a να περιέχει τις κορυφές ενός τριγώνου με μοναδιαίο εμβαδό;

Ο Erdös πρόσφερε κάποιο (γελοίο) ποσό για την επίλυσή του.

]]>