Προβλήματα Μαθηματικών

Μαΐου 8, 2009

Τρίγωνα

Κατηγορίες: Άλυτα Προβλήματα, Με υπόδειξη — Themis Mitsis @ 1:41 πμ

Δείξτε ότι κάθε υποσύνολο τού επιπέδου με άπειρο εμβαδό περιέχει τις κορυφές κάποιου τριγώνου με εμβαδό 1.

5 σχόλια »

  1. Το πρόβλημα αυτό, χωρίς να είναι ιδιαίτερα δύσκολο, δεν είναι τόσο “αθώο” όσο δείχνει.

    (1) Αν κανείς δεχτεί την Υπόθεση τού Συνεχούς (!), αποδεικνύεται ότι υπάρχει σύνολο με άπειρο εξωτερικό μέτρο το οποίο δεν περιέχει τις κορυφές τριγώνου με μοναδιαίο εμβαδό.

    (2) Η ακόλουθη παραλλαγή είναι ανοιχτό πρόβλημα:

    Υπάρχει κάποια σταθερά a>0 τέτοια ώστε κάθε σύνολο με εμβαδό μεγαλύτερο από a να περιέχει τις κορυφές ενός τριγώνου με μοναδιαίο εμβαδό;

    Ο Erdös πρόσφερε κάποιο (γελοίο) ποσό για την επίλυσή του.

    Comment από Themis Mitsis — Μαΐου 13, 2009 @ 2:11 πμ

  2. Το (1) που ανέφερα παραπάνω δεν φαίνεται να είναι γνωστό.
    Δίνω μια απόδειξη για όσους είναι περίεργοι και τους αρέσουν τα άκρως μη-κατασκευαστικά μαθηματικά.

    Ας πούμε ότι ένα σύνολο έχει την ιδιότητα (Ε) αν περιέχει τις κορυφές ενός τριγώνου με μοναδιαίο εμβαδό.
    Τώρα, ο πληθάριθμος τής οικογένειας όλων των συνόλων Borel θετικού μέτρου στο επίπεδο είναι 2^{\aleph_0}, επομένως αν δεχτούμε την Υπόθεση τού Συνεχούς, μπορούμε να έχουμε μια υπερπεπερασμένη αρίθμηση αυτής τής οικογένειας, έστω \{B_\xi:\xi<\omega_1\}, όπου \omega_1 είναι ο πρώτος υπεραριθμήσιμος διατακτικός αριθμός. Επιλέγουμε x_0\in B_0, και για \xi<\omega_1, έστω ότι τα x_\alpha, \alpha<\xi, έχουν επιλεγεί έτσι ώστε το σύνολο \{x_\alpha:\alpha<\xi\} δεν έχει την ιδιότητα (Ε). Για όλα τα ζευγάρια (x_\alpha,x_\beta), \alpha<\beta<\xi, το σύνολο των x για τα οποία το τρίγωνο με κορυφές x_\alpha,x_\beta,x έχει εμβαδό 1, έχει μέτρο μηδέν (αποτελείται από δυο ευθείες παράλληλες στο ευθύγραμμο τμήμα x_\alpha x_\beta). Έτσι, αφού το \{(x_\alpha,x_\beta):\alpha<\beta<\xi\} είναι αριθμήσιμο και το B_\xi έχει θετικό μέτρο, μπορούμε να βρούμε x_\xi\in B_\xi τέτοιο ώστε το σύνολο \{x_\alpha:\alpha<\xi\}\cup\{x_\xi\} δεν έχει την ιδιότητα (Ε). Θέτουμε {A=\{x_\xi:\xi<\omega_1\}} . Τότε το A δεν έχει την ιδιότητα (Ε) και είναι άπειρου εξωτερικού μέτρου, αφού τέμνει κάθε σύνολο Borel θετικού μέτρου.

    Comment από Themis Mitsis — Μαΐου 13, 2009 @ 10:49 μμ

  3. Για το αρχικό πρόβλημα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το θεώρημα του Steinhaus που λέει ότι για κάθε μετρήσιμο υποσύνολο Α του \mathbb{R}, το A-A = \{x-y:x,y \in A\} περιέχει μια περιοχή του 0.

    Comment από Δημήτρης — Μαΐου 14, 2009 @ 1:11 πμ

  4. Ο Δημήτρης παραπάνω εννοεί μετρήσιμο υποσύνολο μη-μηδενικού μέτρου.

    Comment από Themis Mitsis — Μαΐου 16, 2009 @ 1:57 πμ

  5. Υπόδειξη:

    Αν το A έχει θετικό εμβαδό, τότε υπάρχει μια ευθεία \ell τέτοια ώστε η τομή A\cap\ell έχει θετικό μήκος. Χρησιμοποιήστε τώρα το θεώρημα που αναφέρει ο Δημήτρης.

    Comment από Themis Mitsis — Μαΐου 22, 2009 @ 7:11 μμ


Κανάλι RSS για τα σχόλια του άρθρου. TrackBack URI

Γράψτε ένα σχόλιο

Για να σχολιάσετε πρέπει να συνδεθείτε.

Blog στο WordPress.com.