Σχόλια στο Σχέσεις http://kolount.wordpress.com/2009/04/30/%cf%83%cf%87%ce%ad%cf%83%ce%b5%ce%b9%cf%82/ και λύσεις Thu, 17 Dec 2009 13:33:03 +0000 http://wordpress.com/ hourly 1 Από: Mihalis Kolountzakis http://kolount.wordpress.com/2009/04/30/%cf%83%cf%87%ce%ad%cf%83%ce%b5%ce%b9%cf%82/#comment-961 Mihalis Kolountzakis Thu, 07 May 2009 19:43:03 +0000 http://kolount.wordpress.com/?p=806#comment-961 Πολύ σωστά. Αυτό είναι το περιεχόμενο του θεωρήματος Cayley--Hamilton. Ο πίνακας $latex A$ ικανοποιεί το χαρακτηριστικό του πολυώνυμο, το πολυώνυμο δηλ. $latex P(x) = {\rm det}(xI-A)$, που είναι βαθμού $latex k$. Πολύ σωστά. Αυτό είναι το περιεχόμενο του θεωρήματος Cayley–Hamilton. Ο πίνακας A ικανοποιεί το χαρακτηριστικό του πολυώνυμο, το πολυώνυμο δηλ. P(x) = {\rm det}(xI-A), που είναι βαθμού k.

]]> Από: partalopoulo http://kolount.wordpress.com/2009/04/30/%cf%83%cf%87%ce%ad%cf%83%ce%b5%ce%b9%cf%82/#comment-959 partalopoulo Thu, 07 May 2009 07:36:28 +0000 http://kolount.wordpress.com/?p=806#comment-959 Ειναι το πολυ $latex k$, γιατι καθε πινακας ικανοποιει το χαρακτηριστικο του πολυώνυμο που ειναι βαθμου $latex k$. Ειναι το πολυ k, γιατι καθε πινακας ικανοποιει το χαρακτηριστικο του πολυώνυμο που ειναι βαθμου k.

]]> Από: Mihalis Kolountzakis http://kolount.wordpress.com/2009/04/30/%cf%83%cf%87%ce%ad%cf%83%ce%b5%ce%b9%cf%82/#comment-958 Mihalis Kolountzakis Wed, 06 May 2009 22:28:02 +0000 http://kolount.wordpress.com/?p=806#comment-958 Συγγνώμη, είναι προφανές, δεν έπρεπε καν να ρωτήσω. Μια επιπλέον ερώτηση τώρα: με βάση την προηγούμενη απόδειξη το μήκος της αναδρομής είναι το πολύ $latex k^2$. Είναι πραγματικά τόσο μεγάλο ή μήπως είναι μικρότερο; Συγγνώμη, είναι προφανές, δεν έπρεπε καν να ρωτήσω.

Μια επιπλέον ερώτηση τώρα: με βάση την προηγούμενη απόδειξη το μήκος της αναδρομής είναι το πολύ k^2. Είναι πραγματικά τόσο μεγάλο ή μήπως είναι μικρότερο;

]]> Από: Mihalis Kolountzakis http://kolount.wordpress.com/2009/04/30/%cf%83%cf%87%ce%ad%cf%83%ce%b5%ce%b9%cf%82/#comment-956 Mihalis Kolountzakis Wed, 06 May 2009 22:03:31 +0000 http://kolount.wordpress.com/?p=806#comment-956 Πώς ακριβώς προκύπτει το ζητούμενο από την τελευταία σχέση που έγραψες; Πώς ακριβώς προκύπτει το ζητούμενο από την τελευταία σχέση που έγραψες;

]]> Από: stedes http://kolount.wordpress.com/2009/04/30/%cf%83%cf%87%ce%ad%cf%83%ce%b5%ce%b9%cf%82/#comment-955 stedes Wed, 06 May 2009 22:02:09 +0000 http://kolount.wordpress.com/?p=806#comment-955 Επειδή ο χώρος των $latex k\times k$ πινάκων έχει πεπερασμένη διάσταση προκύπτει ότι υπάρχει κάποιο $latex r \in \mathbb N$ τ.ώ. ο $latex A^r$ να γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός των $latex I, A, A^2,\ldots ,A^{r-1}$. Θεωρούμε το ελάχιστο τέτοιο $latex r$ και έστω $latex a_1, a_2,\ldots , a_r$ οι πραγματικοί για τους οποίους ισχύει $latex A^r=a_1 A^{r-1}+a_2 A^{r-2}+\ldots +a_r I$. Από αυτή τη σχέση προκύπτει ότι για κάθε $latex n\geq r$ ισχύει $latex A^n=a_1 A^{n-1}+a_2 A^{n-2}+\ldots +a_r A^{n-r}$, από την οποία προκύπτει και το ζητούμενο. Επειδή ο χώρος των k\times k πινάκων έχει πεπερασμένη διάσταση προκύπτει ότι υπάρχει κάποιο r \in \mathbb N τ.ώ. ο A^r να γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός των I, A, A^2,\ldots ,A^{r-1}.
Θεωρούμε το ελάχιστο τέτοιο r και έστω a_1, a_2,\ldots , a_r οι πραγματικοί για τους οποίους ισχύει
A^r=a_1 A^{r-1}+a_2 A^{r-2}+\ldots +a_r I.
Από αυτή τη σχέση προκύπτει ότι για κάθε n\geq r ισχύει A^n=a_1 A^{n-1}+a_2 A^{n-2}+\ldots +a_r A^{n-r}, από την οποία προκύπτει και το ζητούμενο.

]]> Από: Mihalis Kolountzakis http://kolount.wordpress.com/2009/04/30/%cf%83%cf%87%ce%ad%cf%83%ce%b5%ce%b9%cf%82/#comment-954 Mihalis Kolountzakis Wed, 06 May 2009 17:17:35 +0000 http://kolount.wordpress.com/?p=806#comment-954 <b>Υπόδειξη:</b> Ο γραμμικός χώρος των πινάκων $latex k\times k$ έχει διάσταση πεπερασμένη και μάλιστα $latex k^2$. Άρα η ακολουθία $latex I, A, A^2, A^3, \ldots$ είναι ένα γραμμικώς εξαρτημένο σύνολο. Υπόδειξη:

Ο γραμμικός χώρος των πινάκων k\times k έχει διάσταση πεπερασμένη και μάλιστα k^2. Άρα η ακολουθία I, A, A^2, A^3, \ldots είναι ένα γραμμικώς εξαρτημένο σύνολο.

]]>