Προβλήματα Μαθηματικών

Απριλίου 30, 2009

Σχέσεις

Κατηγορίες: Λυμένα Προβλήματα, Με επιπλέον ερωτήματα, Με υπόδειξη — Mihalis Kolountzakis @ 11:48 πμ

Αν είναι A ένας k \times k πραγματικός πίνακας και i, j δύο ακέραιοι από 1 έως και k, και ορίσουμε την ακολουθία

x_n = (A^n)_{i,j}  (το i,j στοιχείο της n-οστής δύναμης του A)

δείξτε ότι η ακολουθία x_n ικανοποιεί μια γραμμική αναδρομική σχέση:

x_n = a_1 x_{n-1} +\cdots +a_r x_{n-r}

όπου r είναι φυσικός αριθμός και a_1,\ldots,a_r πραγματικοί αριθμοί.

6 σχόλια »

  1. Υπόδειξη:

    Ο γραμμικός χώρος των πινάκων k\times k έχει διάσταση πεπερασμένη και μάλιστα k^2. Άρα η ακολουθία I, A, A^2, A^3, \ldots είναι ένα γραμμικώς εξαρτημένο σύνολο.

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Μαΐου 6, 2009 @ 8:17 μμ

  2. Επειδή ο χώρος των k\times k πινάκων έχει πεπερασμένη διάσταση προκύπτει ότι υπάρχει κάποιο r \in \mathbb N τ.ώ. ο A^r να γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός των I, A, A^2,\ldots ,A^{r-1}.
    Θεωρούμε το ελάχιστο τέτοιο r και έστω a_1, a_2,\ldots , a_r οι πραγματικοί για τους οποίους ισχύει
    A^r=a_1 A^{r-1}+a_2 A^{r-2}+\ldots +a_r I.
    Από αυτή τη σχέση προκύπτει ότι για κάθε n\geq r ισχύει A^n=a_1 A^{n-1}+a_2 A^{n-2}+\ldots +a_r A^{n-r}, από την οποία προκύπτει και το ζητούμενο.

    Σχόλιο από stedes — Μαΐου 7, 2009 @ 1:02 πμ

  3. Πώς ακριβώς προκύπτει το ζητούμενο από την τελευταία σχέση που έγραψες;

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Μαΐου 7, 2009 @ 1:03 πμ

  4. Συγγνώμη, είναι προφανές, δεν έπρεπε καν να ρωτήσω.

    Μια επιπλέον ερώτηση τώρα: με βάση την προηγούμενη απόδειξη το μήκος της αναδρομής είναι το πολύ k^2. Είναι πραγματικά τόσο μεγάλο ή μήπως είναι μικρότερο;

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Μαΐου 7, 2009 @ 1:28 πμ

  5. Ειναι το πολυ k, γιατι καθε πινακας ικανοποιει το χαρακτηριστικο του πολυώνυμο που ειναι βαθμου k.

    Σχόλιο από partalopoulo — Μαΐου 7, 2009 @ 10:36 πμ

  6. Πολύ σωστά. Αυτό είναι το περιεχόμενο του θεωρήματος Cayley–Hamilton. Ο πίνακας A ικανοποιεί το χαρακτηριστικό του πολυώνυμο, το πολυώνυμο δηλ. P(x) = {\rm det}(xI-A), που είναι βαθμού k.

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Μαΐου 7, 2009 @ 10:43 μμ


Κανάλι RSS για τα σχόλια του άρθρου. TrackBack URI

Γράψτε ένα σχόλιο

Για να σχολιάσετε πρέπει να συνδεθείτε.

Blog στο WordPress.com.