Σχόλια στο Πεπερασμένο-προς-ένα http://kolount.wordpress.com/2009/04/29/%cf%80%ce%b5%cf%80%ce%b5%cf%81%ce%b1%cf%83%ce%bc%ce%ad%ce%bd%ce%bf-%cf%80%cf%81%ce%bf%cf%82-%ce%ad%ce%bd%ce%b1/ και λύσεις Thu, 17 Dec 2009 13:33:03 +0000 http://wordpress.com/ hourly 1 Από: Themis Mitsis http://kolount.wordpress.com/2009/04/29/%cf%80%ce%b5%cf%80%ce%b5%cf%81%ce%b1%cf%83%ce%bc%ce%ad%ce%bd%ce%bf-%cf%80%cf%81%ce%bf%cf%82-%ce%ad%ce%bd%ce%b1/#comment-939 Themis Mitsis Thu, 30 Apr 2009 16:52:01 +0000 http://kolount.wordpress.com/?p=801#comment-939 Μόλις θυμήθηκα ότι αυτό που ρωτάει ο Μιχάλης είναι στα παλαιότερα προβλήματα <a href="http://kolount.wordpress.com/2008/03/28/%cf%83%cf%85%ce%bd%ce%b5%ce%ba%cf%84%ce%b9%ce%ba%cf%8c%cf%84%ce%b7%cf%84%ce%b1/" rel="nofollow">Συνεκτικότητα </a>και <a href="http://kolount.wordpress.com/2008/05/05/%ce%bf-%ce%b4%ce%b9%ce%ac%cf%84%cf%81%ce%b7%cf%84%ce%bf%cf%82-%cf%87%cf%8e%cf%81%ce%bf%cf%82/" rel="nofollow">Ο διάτρητος χώρος</a>. Αν κανείς είναι πολύ εκκεντρικός, στην περίπτωση που υπάρχουν οι παράγωγοι, μπορεί να χρησιμοποιήσει και την λεγόμενη co-area formula: $latex \displaystyle\int|\nabla f|=\int_{-\infty}^\infty H^{n-1}(f^{-1}(t))\, dt$, όπου $latex H^{n-1}$ είναι ο $latex (n-1)$-διάστατος όγκος. Μόλις θυμήθηκα ότι αυτό που ρωτάει ο Μιχάλης είναι στα παλαιότερα προβλήματα
Συνεκτικότητα και Ο διάτρητος χώρος.

Αν κανείς είναι πολύ εκκεντρικός, στην περίπτωση που υπάρχουν οι παράγωγοι, μπορεί να χρησιμοποιήσει και την λεγόμενη co-area formula:

\displaystyle\int|\nabla f|=\int_{-\infty}^\infty H^{n-1}(f^{-1}(t))\, dt,

όπου H^{n-1} είναι ο (n-1)-διάστατος όγκος.

]]> Από: Mihalis Kolountzakis http://kolount.wordpress.com/2009/04/29/%cf%80%ce%b5%cf%80%ce%b5%cf%81%ce%b1%cf%83%ce%bc%ce%ad%ce%bd%ce%bf-%cf%80%cf%81%ce%bf%cf%82-%ce%ad%ce%bd%ce%b1/#comment-938 Mihalis Kolountzakis Thu, 30 Apr 2009 15:35:56 +0000 http://kolount.wordpress.com/?p=801#comment-938 Ωραίο. Με τις υποθέσεις που τέθηκαν λύνεται και με το θ. πεπλεγμένης συνάρτησης (που είναι φυσικά όχι τόσο ικανοποιητική λύση αφού χρησιμοποιεί παραγώγους). Αλλά, στη λύση που δόθηκε, πόσο προφανές είναι ότι μπορούμε να αποφύγουμε ένα αριθμήσιμο σύνολο για να πάμε από ένα σημείο σε ένα άλλο; Ωραίο. Με τις υποθέσεις που τέθηκαν λύνεται και με το θ. πεπλεγμένης συνάρτησης (που είναι φυσικά όχι τόσο ικανοποιητική λύση αφού χρησιμοποιεί παραγώγους).

Αλλά, στη λύση που δόθηκε, πόσο προφανές είναι ότι μπορούμε να αποφύγουμε ένα αριθμήσιμο σύνολο για να πάμε από ένα σημείο σε ένα άλλο;

]]> Από: Themis Mitsis http://kolount.wordpress.com/2009/04/29/%cf%80%ce%b5%cf%80%ce%b5%cf%81%ce%b1%cf%83%ce%bc%ce%ad%ce%bd%ce%bf-%cf%80%cf%81%ce%bf%cf%82-%ce%ad%ce%bd%ce%b1/#comment-937 Themis Mitsis Thu, 30 Apr 2009 14:30:30 +0000 http://kolount.wordpress.com/?p=801#comment-937 Σωστά. Για όσους δεν γνωρίζουν από συνεκτικότητα, το επιχείρημα είναι το εξής. Αν το $latex t$ δεν είναι μέγιστη ή ελάχιστη τιμή τής $latex f$ τότε η αντίστροφη εικόνα $latex A=f^{-1}(t)$ είναι υπεραριθμήσιμο σύνολο, γιατί αν υποθέσουμε ότι είναι αριθμήσιμο, τότε επιλέγουμε $latex u,v$ με $latex f(u)<t<f(v)$ και συνδέουμε τα $latex u,v$ με μια καμπύλη η οποία δεν περνάει από το $latex A$. Από το θεώρημα ενδιάμεσης τιμής, υπάρχει κάποιο σημείο $latex w$ πάνω στην καμπύλη τέτοιο ώστε $latex f(w)=t$, άτοπο αφού $latex w\notin A$. Αν υποθέσουμε ότι η $latex f$ είναι ομαλή, υπάρχει και άλλη απόδειξη. Σωστά.

Για όσους δεν γνωρίζουν από συνεκτικότητα, το επιχείρημα είναι το εξής.
Αν το t δεν είναι μέγιστη ή ελάχιστη τιμή τής f τότε η αντίστροφη εικόνα A=f^{-1}(t) είναι υπεραριθμήσιμο σύνολο, γιατί αν υποθέσουμε ότι είναι αριθμήσιμο, τότε επιλέγουμε u,v με f(u)<t<f(v) και συνδέουμε τα u,v με μια καμπύλη η οποία δεν περνάει από το A. Από το θεώρημα ενδιάμεσης τιμής, υπάρχει κάποιο σημείο w πάνω στην καμπύλη τέτοιο ώστε f(w)=t, άτοπο αφού w\notin A.

Αν υποθέσουμε ότι η f είναι ομαλή, υπάρχει και άλλη απόδειξη.

]]> Από: perastikos1 http://kolount.wordpress.com/2009/04/29/%cf%80%ce%b5%cf%80%ce%b5%cf%81%ce%b1%cf%83%ce%bc%ce%ad%ce%bd%ce%bf-%cf%80%cf%81%ce%bf%cf%82-%ce%ad%ce%bd%ce%b1/#comment-936 perastikos1 Thu, 30 Apr 2009 09:39:58 +0000 http://kolount.wordpress.com/?p=801#comment-936 Εννοώ οτι το $latex \mathbb R^n\smallsetminus f^{-1}(x)$ δεν είναι συνεκτικό. Εννοώ οτι το \mathbb R^n\smallsetminus f^{-1}(x) δεν είναι συνεκτικό.

]]> Από: Themis Mitsis http://kolount.wordpress.com/2009/04/29/%cf%80%ce%b5%cf%80%ce%b5%cf%81%ce%b1%cf%83%ce%bc%ce%ad%ce%bd%ce%bf-%cf%80%cf%81%ce%bf%cf%82-%ce%ad%ce%bd%ce%b1/#comment-935 Themis Mitsis Thu, 30 Apr 2009 09:16:19 +0000 http://kolount.wordpress.com/?p=801#comment-935 perastikos1, Τι ακριβώς εννοείς όταν λες ότι η αντίστροφη εικόνα "διαχωρίζει"; perastikos1,

Τι ακριβώς εννοείς όταν λες ότι η αντίστροφη εικόνα “διαχωρίζει”;

]]> Από: perastikos1 http://kolount.wordpress.com/2009/04/29/%cf%80%ce%b5%cf%80%ce%b5%cf%81%ce%b1%cf%83%ce%bc%ce%ad%ce%bd%ce%bf-%cf%80%cf%81%ce%bf%cf%82-%ce%ad%ce%bd%ce%b1/#comment-934 perastikos1 Wed, 29 Apr 2009 19:52:51 +0000 http://kolount.wordpress.com/?p=801#comment-934 Γιατί υπάρχει συνεχής? Δεν ισχύει ότι η f μπορεί να πάρει 2 τιμές το πολύ, πεπερασμένες φορές (το max και το min)? Για κάθε άλλο x, η αντίστροφη εικόνα του x διαχωρίζει άρα είναι άπειρη. Γιατί υπάρχει συνεχής?
Δεν ισχύει ότι η f μπορεί να πάρει 2 τιμές το πολύ, πεπερασμένες φορές (το max και το min)? Για κάθε άλλο x, η αντίστροφη εικόνα του x διαχωρίζει άρα είναι άπειρη.

]]> Από: Themis Mitsis http://kolount.wordpress.com/2009/04/29/%cf%80%ce%b5%cf%80%ce%b5%cf%81%ce%b1%cf%83%ce%bc%ce%ad%ce%bd%ce%bf-%cf%80%cf%81%ce%bf%cf%82-%ce%ad%ce%bd%ce%b1/#comment-929 Themis Mitsis Tue, 28 Apr 2009 21:24:34 +0000 http://kolount.wordpress.com/?p=801#comment-929 Υπάρχουν όλες οι μερικές παράγωγοι όλων των τάξεων. Υπάρχουν όλες οι μερικές παράγωγοι όλων των τάξεων.

]]> Από: charav http://kolount.wordpress.com/2009/04/29/%cf%80%ce%b5%cf%80%ce%b5%cf%81%ce%b1%cf%83%ce%bc%ce%ad%ce%bd%ce%bf-%cf%80%cf%81%ce%bf%cf%82-%ce%ad%ce%bd%ce%b1/#comment-928 charav Tue, 28 Apr 2009 21:20:16 +0000 http://kolount.wordpress.com/?p=801#comment-928 τι θα πει ομαλή; τι θα πει ομαλή;

]]>