Προβλήματα Μαθηματικών

Απριλίου 29, 2009

Πεπερασμένο-προς-ένα

Κατηγορίες: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 12:13 πμ

Υπάρχει ομαλή συνάρτηση f:\mathbb R^n\to\mathbb R η οποία να παίρνει κάθε τιμή της πεπερασμένο πλήθος φορές;

8 σχόλια »

  1. τι θα πει ομαλή;

    Comment από charav — Απριλίου 29, 2009 @ 12:20 πμ

  2. Υπάρχουν όλες οι μερικές παράγωγοι όλων των τάξεων.

    Comment από Themis Mitsis — Απριλίου 29, 2009 @ 12:24 πμ

  3. Γιατί υπάρχει συνεχής?
    Δεν ισχύει ότι η f μπορεί να πάρει 2 τιμές το πολύ, πεπερασμένες φορές (το max και το min)? Για κάθε άλλο x, η αντίστροφη εικόνα του x διαχωρίζει άρα είναι άπειρη.

    Comment από perastikos1 — Απριλίου 29, 2009 @ 10:52 μμ

  4. perastikos1,

    Τι ακριβώς εννοείς όταν λες ότι η αντίστροφη εικόνα “διαχωρίζει”;

    Comment από Themis Mitsis — Απριλίου 30, 2009 @ 12:16 μμ

  5. Εννοώ οτι το \mathbb R^n\smallsetminus f^{-1}(x) δεν είναι συνεκτικό.

    Comment από perastikos1 — Απριλίου 30, 2009 @ 12:39 μμ

  6. Σωστά.

    Για όσους δεν γνωρίζουν από συνεκτικότητα, το επιχείρημα είναι το εξής.
    Αν το t δεν είναι μέγιστη ή ελάχιστη τιμή τής f τότε η αντίστροφη εικόνα A=f^{-1}(t) είναι υπεραριθμήσιμο σύνολο, γιατί αν υποθέσουμε ότι είναι αριθμήσιμο, τότε επιλέγουμε u,v με f(u)<t<f(v) και συνδέουμε τα u,v με μια καμπύλη η οποία δεν περνάει από το A. Από το θεώρημα ενδιάμεσης τιμής, υπάρχει κάποιο σημείο w πάνω στην καμπύλη τέτοιο ώστε f(w)=t, άτοπο αφού w\notin A.

    Αν υποθέσουμε ότι η f είναι ομαλή, υπάρχει και άλλη απόδειξη.

    Comment από Themis Mitsis — Απριλίου 30, 2009 @ 5:30 μμ

  7. Ωραίο. Με τις υποθέσεις που τέθηκαν λύνεται και με το θ. πεπλεγμένης συνάρτησης (που είναι φυσικά όχι τόσο ικανοποιητική λύση αφού χρησιμοποιεί παραγώγους).

    Αλλά, στη λύση που δόθηκε, πόσο προφανές είναι ότι μπορούμε να αποφύγουμε ένα αριθμήσιμο σύνολο για να πάμε από ένα σημείο σε ένα άλλο;

    Comment από Mihalis Kolountzakis — Απριλίου 30, 2009 @ 6:35 μμ

  8. Μόλις θυμήθηκα ότι αυτό που ρωτάει ο Μιχάλης είναι στα παλαιότερα προβλήματα
    Συνεκτικότητα και Ο διάτρητος χώρος.

    Αν κανείς είναι πολύ εκκεντρικός, στην περίπτωση που υπάρχουν οι παράγωγοι, μπορεί να χρησιμοποιήσει και την λεγόμενη co-area formula:

    \displaystyle\int|\nabla f|=\int_{-\infty}^\infty H^{n-1}(f^{-1}(t))\, dt,

    όπου H^{n-1} είναι ο (n-1)-διάστατος όγκος.

    Comment από Themis Mitsis — Απριλίου 30, 2009 @ 7:52 μμ


Κανάλι RSS για τα σχόλια του άρθρου. TrackBack URI

Γράψτε ένα σχόλιο

Για να σχολιάσετε πρέπει να συνδεθείτε.

Blog στο WordPress.com.