Υπάρχει ομαλή συνάρτηση η οποία να παίρνει κάθε τιμή της πεπερασμένο πλήθος φορές;
Υπάρχει ομαλή συνάρτηση η οποία να παίρνει κάθε τιμή της πεπερασμένο πλήθος φορές;
Εδώ θα τοποθετούμε προβλήματα μαθηματικών που θεωρούμε όμορφα. Τα πιο πολλά από αυτά δεν είναι τελείως στοιχειώδη και, κατά κανόνα, απαιτούν κάποιες γνώσεις μαθηματικών που αποκτά κανείς στο Πανεπιστήμιο (ή τουλάχιστον θα έπρεπε ...).
Στα σχόλια κάθε προβλήματος μπορείτε να γράφετε λύσεις, ιδέες, αντιρρήσεις, ερωτήσεις, σχολιασμούς, κλπ.
Αν έχετε κάποιο καλό πρόβλημα που θα θέλατε να αναρτηθεί εδώ στείλτε μας το με e-mail.
Ποιοί συνεισφέρουν προβλήματα:
| Mihalis Kolountzakis στο Το πέμπτο χαρτί | |
| Manos Papagelis στο Το πέμπτο χαρτί | |
| Michalis Loulakis στο Οριακή κανονικότητα | |
| nefelh στο Οριακή κανονικότητα | |
| nefelh στο Τετράγωνα και συμμετρίες | |
| stedes στο Τετράγωνα και συμμετρίες | |
| nefelh στο Τετράγωνα και συμμετρίες | |
| stedes στο Τετράγωνα και συμμετρίες | |
| nefelh στο Τετράγωνα και συμμετρίες | |
| Mihalis Kolountzakis στο Μέ όποια σειρά … | |
| alexandrosr9 στο Μέ όποια σειρά … | |
| Mihalis Kolountzakis στο Μέ όποια σειρά … | |
| Charalampos Tsouraka… στο Μέ όποια σειρά … | |
| Themis Mitsis στο Οριακό σημείο | |
| partalopoulo στο Οριακό σημείο |
τι θα πει ομαλή;
Σχόλιο από charav — Απριλίου 29, 2009 @ 12:20 πμ
Υπάρχουν όλες οι μερικές παράγωγοι όλων των τάξεων.
Σχόλιο από Themis Mitsis — Απριλίου 29, 2009 @ 12:24 πμ
Γιατί υπάρχει συνεχής?
Δεν ισχύει ότι η f μπορεί να πάρει 2 τιμές το πολύ, πεπερασμένες φορές (το max και το min)? Για κάθε άλλο x, η αντίστροφη εικόνα του x διαχωρίζει άρα είναι άπειρη.
Σχόλιο από perastikos1 — Απριλίου 29, 2009 @ 10:52 μμ
perastikos1,
Τι ακριβώς εννοείς όταν λες ότι η αντίστροφη εικόνα “διαχωρίζει”;
Σχόλιο από Themis Mitsis — Απριλίου 30, 2009 @ 12:16 μμ
Εννοώ οτι το
δεν είναι συνεκτικό.
Σχόλιο από perastikos1 — Απριλίου 30, 2009 @ 12:39 μμ
Σωστά.
Για όσους δεν γνωρίζουν από συνεκτικότητα, το επιχείρημα είναι το εξής.
δεν είναι μέγιστη ή ελάχιστη τιμή τής
τότε η αντίστροφη εικόνα
είναι υπεραριθμήσιμο σύνολο, γιατί αν υποθέσουμε ότι είναι αριθμήσιμο, τότε επιλέγουμε
με
και συνδέουμε τα
με μια καμπύλη η οποία δεν περνάει από το
. Από το θεώρημα ενδιάμεσης τιμής, υπάρχει κάποιο σημείο
πάνω στην καμπύλη τέτοιο ώστε
, άτοπο αφού
.
Αν το
Αν υποθέσουμε ότι η
είναι ομαλή, υπάρχει και άλλη απόδειξη.
Σχόλιο από Themis Mitsis — Απριλίου 30, 2009 @ 5:30 μμ
Ωραίο. Με τις υποθέσεις που τέθηκαν λύνεται και με το θ. πεπλεγμένης συνάρτησης (που είναι φυσικά όχι τόσο ικανοποιητική λύση αφού χρησιμοποιεί παραγώγους).
Αλλά, στη λύση που δόθηκε, πόσο προφανές είναι ότι μπορούμε να αποφύγουμε ένα αριθμήσιμο σύνολο για να πάμε από ένα σημείο σε ένα άλλο;
Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Απριλίου 30, 2009 @ 6:35 μμ
Μόλις θυμήθηκα ότι αυτό που ρωτάει ο Μιχάλης είναι στα παλαιότερα προβλήματα
Συνεκτικότητα και Ο διάτρητος χώρος.
Αν κανείς είναι πολύ εκκεντρικός, στην περίπτωση που υπάρχουν οι παράγωγοι, μπορεί να χρησιμοποιήσει και την λεγόμενη co-area formula:
όπου
είναι ο
-διάστατος όγκος.
Σχόλιο από Themis Mitsis — Απριλίου 30, 2009 @ 7:52 μμ