Σχόλια στο Διαχωρισιμότητα http://kolount.wordpress.com/2009/04/26/%ce%b4%ce%b9%ce%b1%cf%87%cf%89%cf%81%ce%b9%cf%83%ce%b9%ce%bc%cf%8c%cf%84%ce%b7%cf%84%ce%b1/ και λύσεις Thu, 17 Dec 2009 13:33:03 +0000 http://wordpress.com/ hourly 1 Από: charav http://kolount.wordpress.com/2009/04/26/%ce%b4%ce%b9%ce%b1%cf%87%cf%89%cf%81%ce%b9%cf%83%ce%b9%ce%bc%cf%8c%cf%84%ce%b7%cf%84%ce%b1/#comment-927 charav Tue, 28 Apr 2009 19:23:08 +0000 http://kolount.wordpress.com/?p=792#comment-927 Ναι σίγουρα. Ευχαριστώ πολύ. Ναι σίγουρα. Ευχαριστώ πολύ.

]]> Από: Themis Mitsis http://kolount.wordpress.com/2009/04/26/%ce%b4%ce%b9%ce%b1%cf%87%cf%89%cf%81%ce%b9%cf%83%ce%b9%ce%bc%cf%8c%cf%84%ce%b7%cf%84%ce%b1/#comment-926 Themis Mitsis Tue, 28 Apr 2009 19:16:31 +0000 http://kolount.wordpress.com/?p=792#comment-926 Βεβαίως, είναι το W. W. Comfort, S. Negrepontis, "Chain conditions in topology". Cambridge Tracts in Mathematics, Vol. 79, Cambridge University Press, New York, 1982. Όσοι έχετε σπουδάσει, ή σπουδάζετε, στην Αθήνα, σίγουρα γνωρίζετε τον δεύτερο συγγραφέα. Βεβαίως, είναι το

W. W. Comfort, S. Negrepontis, “Chain conditions in topology”. Cambridge Tracts in Mathematics, Vol. 79, Cambridge University Press, New York, 1982.

Όσοι έχετε σπουδάσει, ή σπουδάζετε, στην Αθήνα, σίγουρα γνωρίζετε τον δεύτερο συγγραφέα.

]]> Από: charav http://kolount.wordpress.com/2009/04/26/%ce%b4%ce%b9%ce%b1%cf%87%cf%89%cf%81%ce%b9%cf%83%ce%b9%ce%bc%cf%8c%cf%84%ce%b7%cf%84%ce%b1/#comment-925 charav Tue, 28 Apr 2009 19:10:49 +0000 http://kolount.wordpress.com/?p=792#comment-925 αν ειναι δυνατό κ.Μιτση(σωστα το γράφω;) μπορείται να βάλετε το βιβλίο που αναφέρετε στο τελευταίο ποστ; αν ειναι δυνατό κ.Μιτση(σωστα το γράφω;) μπορείται να βάλετε το βιβλίο που αναφέρετε στο τελευταίο ποστ;

]]> Από: Themis Mitsis http://kolount.wordpress.com/2009/04/26/%ce%b4%ce%b9%ce%b1%cf%87%cf%89%cf%81%ce%b9%cf%83%ce%b9%ce%bc%cf%8c%cf%84%ce%b7%cf%84%ce%b1/#comment-924 Themis Mitsis Tue, 28 Apr 2009 16:20:04 +0000 http://kolount.wordpress.com/?p=792#comment-924 Σχετικά με την ccc, σημαίνει countable chain condition. Ένας έλληνας έχει γράψει μια ολόκληρη μονογραφία σχετικά με αυτά τα πράγματα (chain conditions in topology). Την ταυτότητά του μπορεί κανείς εύκολα να την μαντέψει. Σχετικά με την ccc, σημαίνει countable chain condition.
Ένας έλληνας έχει γράψει μια ολόκληρη μονογραφία σχετικά με αυτά τα πράγματα (chain conditions in topology).
Την ταυτότητά του μπορεί κανείς εύκολα να την μαντέψει.

]]> Από: Themis Mitsis http://kolount.wordpress.com/2009/04/26/%ce%b4%ce%b9%ce%b1%cf%87%cf%89%cf%81%ce%b9%cf%83%ce%b9%ce%bc%cf%8c%cf%84%ce%b7%cf%84%ce%b1/#comment-923 Themis Mitsis Tue, 28 Apr 2009 15:56:59 +0000 http://kolount.wordpress.com/?p=792#comment-923 Υπάρχουν κάποια τεχνικά προβλήματα με τα post τού Δημήτρη. Η λύση που μου έστειλε με email είναι η ακόλουθη και είναι σωστή: Για κάθε ν, θα ορίσω μια οικεγένεια συνόλων $latex O_n$ με τις εξής ιδιότητες 1) Κάθε σύνολο $latex A \in O_n$ είναι της μορφής $latex B(x,\varepsilon)$ για κάποιο χ και κάποιο $latex 0 < \varepsilon <1/n$. 2) Αν $latex A,B \in O_n$ τότε $latex A \cap B = \emptyset$. 3) Η $latex \bigcup\limits_{A \in O_n}A$ είναι πυκνή στον Χ. Μπορούμε να το πετύχουμε αυτό με Zorn. Το μερικώς διατεταγμένο σύνολο είναι το σύνολο όλων των οικογενειών που ικανοποιούν τις (1) και (2) και η διάταξη δίνεται από την έγκλειση: Κάθε (μη κενή) αλυσίδα έχει μέγιστο στοιχείο (την ένωση των οικογενειών). κάθε μέγιστο στοιχείο πρέπει να ικανοποιεί την (3). Τα (1) και (2) με την συνθήκη ccc δίνουν ότι η $latex O_n$ είναι αριθμήσιμη. Τώρα όπως κάνει ο charav, για κάθε $latex U \in O_n$ παίρνω $latex x_U \in U$ και ορίζω $latex D_n = \{x_U: U \in O_n\}$. H $latex D_n$ είναι αριθμήσιμη, άρα και η $latex D = \cup D_n$ είναι αριθμήσιμη. Επίσης, D πυκνό στον Χ: Αν όχι τότε υπάρχει ανοικτό σύνολο $latex B(x,d)$ που δεν περιέχει κανένα στοιχείο της D. Αυτό είναι άτοπο αφού σίγουρα περιέχει όλα τα στοιχεία της $latex D_n$ για $latex n>2/d$. (Αλλιώς θα παραβίαζε την συνθήκη (3).) Υπάρχουν κάποια τεχνικά προβλήματα με τα post τού Δημήτρη.
Η λύση που μου έστειλε με email είναι η ακόλουθη και είναι σωστή:

Για κάθε ν, θα ορίσω μια οικεγένεια συνόλων O_n με τις εξής ιδιότητες
1) Κάθε σύνολο A \in O_n είναι της μορφής B(x,\varepsilon) για κάποιο χ και κάποιο 0 < \varepsilon <1/n.
2) Αν A,B \in O_n τότε A \cap B = \emptyset.
3) Η \bigcup\limits_{A \in O_n}A είναι πυκνή στον Χ.

Μπορούμε να το πετύχουμε αυτό με Zorn. Το μερικώς διατεταγμένο σύνολο
είναι το σύνολο όλων των οικογενειών που ικανοποιούν τις (1) και (2)
και η διάταξη δίνεται από την έγκλειση: Κάθε (μη κενή) αλυσίδα έχει
μέγιστο στοιχείο (την ένωση των οικογενειών). κάθε μέγιστο στοιχείο
πρέπει να ικανοποιεί την (3).
Τα (1) και (2) με την συνθήκη ccc δίνουν ότι η O_n είναι αριθμήσιμη.

Τώρα όπως κάνει ο charav, για κάθε U \in O_n παίρνω x_U \in U και ορίζω D_n = \{x_U: U \in O_n\}. H D_n είναι
αριθμήσιμη, άρα και η D = \cup D_n είναι αριθμήσιμη. Επίσης, D
πυκνό στον Χ: Αν όχι τότε υπάρχει ανοικτό σύνολο B(x,d) που
δεν περιέχει κανένα στοιχείο της D. Αυτό είναι άτοπο αφού σίγουρα
περιέχει όλα τα στοιχεία της D_n για n>2/d. (Αλλιώς θα
παραβίαζε την συνθήκη (3).)

]]> Από: Themis Mitsis http://kolount.wordpress.com/2009/04/26/%ce%b4%ce%b9%ce%b1%cf%87%cf%89%cf%81%ce%b9%cf%83%ce%b9%ce%bc%cf%8c%cf%84%ce%b7%cf%84%ce%b1/#comment-921 Themis Mitsis Tue, 28 Apr 2009 15:46:03 +0000 http://kolount.wordpress.com/?p=792#comment-921 charav, στο (5) δείχνεις ότι αν ο χώρος είναι διαχωρίσιμος τότε έχει αριθμήσιμη βάση. Η άσκηση δεν ζητάει αυτό. Η άσκηση λέει ότι αν ο χώρος έχει την ccc τότε είναι διαχωρίσιμος. charav,

στο (5) δείχνεις ότι αν ο χώρος είναι διαχωρίσιμος τότε έχει αριθμήσιμη βάση.
Η άσκηση δεν ζητάει αυτό. Η άσκηση λέει ότι αν ο χώρος έχει την ccc τότε είναι διαχωρίσιμος.

]]> Από: charav http://kolount.wordpress.com/2009/04/26/%ce%b4%ce%b9%ce%b1%cf%87%cf%89%cf%81%ce%b9%cf%83%ce%b9%ce%bc%cf%8c%cf%84%ce%b7%cf%84%ce%b1/#comment-920 charav Tue, 28 Apr 2009 15:34:27 +0000 http://kolount.wordpress.com/?p=792#comment-920 Αρχικά θεωρώ ένα σύνολο D={x_n:n=1,2,3,...} το οποίο έιναι ένα αριθμήσιμο πυκνό υποσύνολο του Χ. Η οικογένεια θα ριστεί ως Ο={Β(χ_n,q):q ανηκει στους θετικούς ακεραίους, χ_n στο D} Αρχικά θεωρώ ένα σύνολο D={x_n:n=1,2,3,…} το οποίο έιναι ένα αριθμήσιμο πυκνό υποσύνολο του Χ. Η οικογένεια θα ριστεί ως
Ο={Β(χ_n,q):q ανηκει στους θετικούς ακεραίους, χ_n στο D}

]]> Από: Themis Mitsis http://kolount.wordpress.com/2009/04/26/%ce%b4%ce%b9%ce%b1%cf%87%cf%89%cf%81%ce%b9%cf%83%ce%b9%ce%bc%cf%8c%cf%84%ce%b7%cf%84%ce%b1/#comment-917 Themis Mitsis Tue, 28 Apr 2009 12:32:30 +0000 http://kolount.wordpress.com/?p=792#comment-917 Εννοώ πώς ξέρεις ότι μπορείς να επιλέξεις την $latex O$ να είναι αριθμήσιμη; Εννοώ πώς ξέρεις ότι μπορείς να επιλέξεις την O να είναι αριθμήσιμη;

]]> Από: Themis Mitsis http://kolount.wordpress.com/2009/04/26/%ce%b4%ce%b9%ce%b1%cf%87%cf%89%cf%81%ce%b9%cf%83%ce%b9%ce%bc%cf%8c%cf%84%ce%b7%cf%84%ce%b1/#comment-916 Themis Mitsis Tue, 28 Apr 2009 11:31:31 +0000 http://kolount.wordpress.com/?p=792#comment-916 charav, Γιατί η $latex D$ είναι αριθμήσιμη; charav,

Γιατί η D είναι αριθμήσιμη;

]]> Από: Δημήτρης http://kolount.wordpress.com/2009/04/26/%ce%b4%ce%b9%ce%b1%cf%87%cf%89%cf%81%ce%b9%cf%83%ce%b9%ce%bc%cf%8c%cf%84%ce%b7%cf%84%ce%b1/#comment-915 Δημήτρης Tue, 28 Apr 2009 09:25:47 +0000 http://kolount.wordpress.com/?p=792#comment-915 charav, νομίζω δεν δουλεύει αυτό που λες. Π.χ. η Ο μπορεί να αποτελείται από ένα μόνο ανοικτό σύνολο, το Χ. Όταν διάβαζα χθες την άσκηση, δεν πρόσεξα το "μετρικός χώρος". Ένα αντιπαράδειγμα σε τοπολογικούς χώρους είναι ένα οποιοδήποτε υπεραριθμήσιμο σύνολο Χ όπου τα κλειστά σύνολα είναι το Χ μαζί με όλα τα αριθμήσιμα σύνολα. Μόνο που ο Χ δεν είναι μετρικοποιήσιμος... charav, νομίζω δεν δουλεύει αυτό που λες. Π.χ. η Ο μπορεί να αποτελείται από ένα μόνο ανοικτό σύνολο, το Χ.

Όταν διάβαζα χθες την άσκηση, δεν πρόσεξα το “μετρικός χώρος”. Ένα αντιπαράδειγμα σε τοπολογικούς χώρους είναι ένα οποιοδήποτε υπεραριθμήσιμο σύνολο Χ όπου τα κλειστά σύνολα είναι το Χ μαζί με όλα τα αριθμήσιμα σύνολα. Μόνο που ο Χ δεν είναι μετρικοποιήσιμος…

]]>