Προβλήματα Μαθηματικών

Απριλίου 26, 2009

Διαχωρισιμότητα

Κατηγορίες: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 9:44 μμ

Ένας μετρικός χώρος λέγεται διαχωρίσιμος αν έχει αριθμήσιμο και πυκνό υποσύνολο. Για παράδειγμα, οι πραγματικοί και οι συνεχείς συναρτήσεις σ’ ένα κλειστό διάστημα είναι διαχωρίσιμοι χώροι. Οι φραγμένες ακολουθίες δεν είναι.
Είναι σχετικά εύκολο να δείξει κανείς ότι ένας διαχωρίσιμος χώρος έχει την ακόλουθη ιδιότητα την οποία, για μυστηριώδεις λόγους, θα ονομάσουμε ccc:

“Κάθε οικογένεια μη κενών, ξένων ανά δυο ανοιχτών συνόλων είναι το πολύ αριθμήσιμη.”

Αυτό μπορείτε να το δείτε ως εξής. Κάθε σύνολο τής οικογένειας περιέχει κάποιο στοιχείο τού πυκνού συνόλου. Η απεικόνιση που στέλνει κάθε σύνολο τής οικογένειας στο αντίστοιχο στοιχείο είναι 1-1.

Το ερώτημα είναι αν ισχύει το αντίστροφο: Αν ένας χώρος έχει την ccc τότε είναι διαχωρίσιμος;

11 σχόλια »

  1. Έστω ότι υπάρχει μια αριθμήσιμη οικογενεια συνόλων την οποία την ονομάζουμε Ο και η οποία έχει την ακόλουθη ιδιότητα: για κάθε ανοιχτό G το οποίο είναι υποσύνολο του Χ(όπου (Χ,ρ) ο μετρικός μας χώρος) και για κάθε στοιχείο του G υπάρχει ένα U το οποίο ανηκει στην οικογένεια Ο ώστε το χ να ανήκει στην U και το οποίο είναι υποσύνολο του G. Αν τώρα για κάθε U που δεν είναι το κενό σύνολο, αλλά ανήκει στην οικογένεια Ο επιλέξουμε ένα τυχαίο χ_U το οποίο είναι στοιχείο του U, τότε το σύνολο D={x_U:U να ανήκει στην οικογένεια Ο} είναι ένα αριθμήσιμο πυκνό υποσύνολο του Χ.Και άρα ο Χ διαχωρίσιμος.

    Comment από charav — Απριλίου 28, 2009 @ 10:45 πμ

  2. charav, νομίζω δεν δουλεύει αυτό που λες. Π.χ. η Ο μπορεί να αποτελείται από ένα μόνο ανοικτό σύνολο, το Χ.

    Όταν διάβαζα χθες την άσκηση, δεν πρόσεξα το “μετρικός χώρος”. Ένα αντιπαράδειγμα σε τοπολογικούς χώρους είναι ένα οποιοδήποτε υπεραριθμήσιμο σύνολο Χ όπου τα κλειστά σύνολα είναι το Χ μαζί με όλα τα αριθμήσιμα σύνολα. Μόνο που ο Χ δεν είναι μετρικοποιήσιμος…

    Comment από Δημήτρης — Απριλίου 28, 2009 @ 12:25 μμ

  3. charav,

    Γιατί η D είναι αριθμήσιμη;

    Comment από Themis Mitsis — Απριλίου 28, 2009 @ 2:31 μμ

  4. Εννοώ πώς ξέρεις ότι μπορείς να επιλέξεις την O να είναι αριθμήσιμη;

    Comment από Themis Mitsis — Απριλίου 28, 2009 @ 3:32 μμ

  5. Αρχικά θεωρώ ένα σύνολο D={x_n:n=1,2,3,…} το οποίο έιναι ένα αριθμήσιμο πυκνό υποσύνολο του Χ. Η οικογένεια θα ριστεί ως
    Ο={Β(χ_n,q):q ανηκει στους θετικούς ακεραίους, χ_n στο D}

    Comment από charav — Απριλίου 28, 2009 @ 6:34 μμ

  6. charav,

    στο (5) δείχνεις ότι αν ο χώρος είναι διαχωρίσιμος τότε έχει αριθμήσιμη βάση.
    Η άσκηση δεν ζητάει αυτό. Η άσκηση λέει ότι αν ο χώρος έχει την ccc τότε είναι διαχωρίσιμος.

    Comment από Themis Mitsis — Απριλίου 28, 2009 @ 6:46 μμ

  7. Υπάρχουν κάποια τεχνικά προβλήματα με τα post τού Δημήτρη.
    Η λύση που μου έστειλε με email είναι η ακόλουθη και είναι σωστή:

    Για κάθε ν, θα ορίσω μια οικεγένεια συνόλων O_n με τις εξής ιδιότητες
    1) Κάθε σύνολο A \in O_n είναι της μορφής B(x,\varepsilon) για κάποιο χ και κάποιο 0 < \varepsilon <1/n.
    2) Αν A,B \in O_n τότε A \cap B = \emptyset.
    3) Η \bigcup\limits_{A \in O_n}A είναι πυκνή στον Χ.

    Μπορούμε να το πετύχουμε αυτό με Zorn. Το μερικώς διατεταγμένο σύνολο
    είναι το σύνολο όλων των οικογενειών που ικανοποιούν τις (1) και (2)
    και η διάταξη δίνεται από την έγκλειση: Κάθε (μη κενή) αλυσίδα έχει
    μέγιστο στοιχείο (την ένωση των οικογενειών). κάθε μέγιστο στοιχείο
    πρέπει να ικανοποιεί την (3).
    Τα (1) και (2) με την συνθήκη ccc δίνουν ότι η O_n είναι αριθμήσιμη.

    Τώρα όπως κάνει ο charav, για κάθε U \in O_n παίρνω x_U \in U και ορίζω D_n = \{x_U: U \in O_n\}. H D_n είναι
    αριθμήσιμη, άρα και η D = \cup D_n είναι αριθμήσιμη. Επίσης, D
    πυκνό στον Χ: Αν όχι τότε υπάρχει ανοικτό σύνολο B(x,d) που
    δεν περιέχει κανένα στοιχείο της D. Αυτό είναι άτοπο αφού σίγουρα
    περιέχει όλα τα στοιχεία της D_n για n>2/d. (Αλλιώς θα
    παραβίαζε την συνθήκη (3).)

    Comment από Themis Mitsis — Απριλίου 28, 2009 @ 6:56 μμ

  8. Σχετικά με την ccc, σημαίνει countable chain condition.
    Ένας έλληνας έχει γράψει μια ολόκληρη μονογραφία σχετικά με αυτά τα πράγματα (chain conditions in topology).
    Την ταυτότητά του μπορεί κανείς εύκολα να την μαντέψει.

    Comment από Themis Mitsis — Απριλίου 28, 2009 @ 7:20 μμ

  9. αν ειναι δυνατό κ.Μιτση(σωστα το γράφω;) μπορείται να βάλετε το βιβλίο που αναφέρετε στο τελευταίο ποστ;

    Comment από charav — Απριλίου 28, 2009 @ 10:10 μμ

  10. Βεβαίως, είναι το

    W. W. Comfort, S. Negrepontis, “Chain conditions in topology”. Cambridge Tracts in Mathematics, Vol. 79, Cambridge University Press, New York, 1982.

    Όσοι έχετε σπουδάσει, ή σπουδάζετε, στην Αθήνα, σίγουρα γνωρίζετε τον δεύτερο συγγραφέα.

    Comment από Themis Mitsis — Απριλίου 28, 2009 @ 10:16 μμ

  11. Ναι σίγουρα. Ευχαριστώ πολύ.

    Comment από charav — Απριλίου 28, 2009 @ 10:23 μμ


Κανάλι RSS για τα σχόλια του άρθρου. TrackBack URI

Γράψτε ένα σχόλιο

Για να σχολιάσετε πρέπει να συνδεθείτε.

Blog στο WordPress.com.