Προβλήματα Μαθηματικών

Απριλίου 15, 2009

Ανισότητα αναδιάταξης

Κατηγορίες: Άλυτα Προβλήματα, Με υπόδειξη — Michalis Loulakis @ 10:33 πμ

Έστω P ένας n\times n πίνακας με μη αρνητικά στοιχεία (p_{ij})_{1\le i,j\le n} τέτοια ώστε

\displaystyle \sum_{i=1}^n p_{ij}=1 για κάθε j=1,2,...,n      και      \displaystyle \qquad \sum_{j=1}^n p_{ij}=1 για κάθε i=1,2,...,n.

Αν x\in\mathbb{R}^n συμβολίζουμε με x^{*} (αντίστοιχα x_*) το διάνυσμα που προκύπτει από το x αν αναδιατάξουμε τις συντεταγμένες του με αύξουσα (αντίστοιχα φθίνουσα) σειρά. Δείξτε ότι για κάθε x,y\in\mathbb{R}^n έχουμε

\displaystyle x^*\cdot y_*\le \sum_{i,j=1}^n p_{ij}x_iy_j\le x^{*}\cdot y^{*}.

1 σχόλιο »

  1. Υπόδειξη:

    Προσπαθήστε πρώτα να δείξετε την ανισότητα στην περίπτωση που ο πίνακας P είναι πίνακας αναδιάταξης, έχει δηλαδή ακριβώς ένα 1 σε κάθε γραμμή και κάθε στήλη και όλα τα υπόλοιπα στοιχεία του είναι μηδέν.

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Μαΐου 9, 2009 @ 1:17 μμ


Κανάλι RSS για τα σχόλια του άρθρου. TrackBack URI

Γράψτε ένα σχόλιο

Για να σχολιάσετε πρέπει να συνδεθείτε.

Blog στο WordPress.com.