Θετικό μήκος

Υπάρχει σύνολο θετικού μήκους το οποίο να μην είναι ισοπληθικό με το ;

Τελείως ανώμαλη

Στην άσκηση άπειρο ολοκλήρωμα είδατε ότι πάνω σε οποιοδήποτε υποσύνολο τού με θετικό μήκος, υπάρχει πραγματική συνάρτηση με άπειρο ολοκλήρωμα. Είναι αλήθεια ότι υπάρχει πραγματική συνάρτηση με άπειρο ολοκλήρωμα πάνω σε κάθε διάστημα;

Δύναμη του 2

Δείξτε ότι υπάρχει ώστε τα 2000 τελευταία ψηφία του (στο δεκαδικό σύστημα) να είναι είτε 1 είτε 2.

Ισομετρία

Έστω κλειστό και φραγμένο, και μια συνάρτηση τέτοια ώστε για κάθε . Δείξτε ότι η είναι επί.

Ένας χρόνος “Προβλήματα Μαθηματικών”

Σήμερα έκλεισε ένας χρόνος λειτουργίας αυτού του blog μαθηματικών προβλημάτων. 166 posts (προβλήματα) και 780 σχόλια χρηστών μετά μπορώ να πω ότι το έχω απολαύσει. Είμαι σίγουρος ότι το ίδιο ισχύει και για τους συ-συγγραφείς μου, Θέμη και Μιχάλη. Για μένα είναι πλέον ένα ουσιαστικό κομμάτι της διδακτικής δουλειάς μου απαλλαγμένο από βαθμολογικά συστήματα, διδακτέα ύλη, εξετάσεις, επιτηρήσεις, κλπ, αλλά και δυστυχώς στερημένο της προσωπικής επαφής.

Θα ήθελα να ευχαριστήσω όλους όσους συμμετέχουν ενεργά λύνοντας προβλήματα. Χωρίς εσάς το blog θα είχε σβήσει. Εξ αιτίας της συμμετοχής σας το blog προκόβει.

Χρόνια μας πολλά.

Κομπολόι από σωματίδια

Φτιάχνουμε ένα κομπολόι από σωματίδια ύλης και αντιύλης με τους εξής κανόνες:

1. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε σωματίδια α, β, αντί-α και αντί-β.

2. Ξεκινάμε από ένα άδειο κομπολόι και κάθε δεπτερόλεπτο προσθέτουμε ένα από τα παραπάνω σωματίδια επιλέγοντάς το τυχαία.

3. Αν κάποιο σωματίδιο α βρεθεί δίπλα σε κάποιο σωματίδιο αντί-α αυτά εξαφανίζονται. Το ίδιο συμβαίνει και για τα β και αντί-β. Όλες οι υπόλοιπες γειτνιάσεις είναι επιτρεπτές.

Δείξτε ότι η πιθανότητα να αδειάσει κάποια στιγμή (>0) το κομπολόι είναι 1/3.

Αναλλοίωτο σύνολο

Έστω κλειστό & φραγμένο, και μια συνεχής συνάρτηση. Δείξτε ότι υπάρχει σύνολο μη κενό & κλειστό, το οποίο η συνάρτηση αφήνει αναλλοίωτο, δηλαδή .

Μετρήσιμοι δίσκοι

Είναι αλήθεια ότι η ένωση μιας αυθαίρετης οικογένειας κλειστών δίσκων στο επίπεδο είναι πάντα μετρήσιμο σύνολο;

Σημεία μέσα σε κύκλο

Για ένα άπειρο αριθμήσιμο σύνολο σημείων , με την ιδιότητα ότι κάθε δύο σημεία του απέχουν μεταξύ τους τουλάχιστον 1, δείξτε ότι για κάθε μπορείτε να βρείτε κύκλο που έχει στο εσωτερικό του ακριβώς σημεία του .