Προβλήματα Μαθηματικών

Φεβρουαρίου 24, 2009

Κομπιουτεράκι

Κατηγορίες: Λυμένα Προβλήματα — Michalis Loulakis @ 3:25 μμ

Γράψτε έναν αριθμό σε ένα (επιστημονικό) κομπιουτεράκι και αρχίστε να πατάτε το κουμπί “cos”. Τι συμβαίνει μετά από μερικά πατήματα του κουμπιού; γιατί;

2 σχόλια »

  1. Η ακολουθια συγκλινει παντα. Θεωρουμε τη συναρτηση f=\cos:[-1,1]\to[-1,1]. Απο το Θεωρημα Μεσης Τιμης εχουμε οτι

    \displaystyle|f(a)-f(b)|=|(\sin\xi)(a-b)|\le\sin(1)|a-b|\quad(-1\le a,b\le 1).

    και 0<\sin(1)<1. Τετοιες συναρτησεις ονομαζονται συστολες και εχουν ακριβως 1 σταθερο σημειο (δεδομενου οτι οριζονται σε πληρη μετρικο χωρο, οπως ειναι το [-1,1]). Στην προκειμενη περιπτωση αυτο το σημειο ειναι η μοναδικη λυση της εξισωσης \cos x=x, εστω x_0. Επισης, για καθε x\in[-1,1], η ακολουθια \{f^n(x)\}_{n=1}^\infty, οπου f^2(x)=f(f(x)), f^3(x)=f(f(f(x))) και ουτω καθ’εξης, συγκλινει στο x_0 επειδη η f ειναι συστολη (ακομη και να μην ξερει κανεις τι ειναι συστολη, ειναι σχετικα ευκολο να δει απο την (*) οτι η συγκεκριμενη ακολουθια ειναι Cauchy).

    Εστω τωρα ενας προγματικος αριθμος x. Τοτε \cos x\in[-1,1] και αρα η ακολουθια \cos(\cos x),\cos(\cos(\cos x)),\dots συγλινει στο x_0.

    Comment από partalopoulo — Απριλίου 29, 2009 @ 10:33 πμ

  2. Σωστά.
    Μάλιστα η σύγκλιση στο σταθερό σημείο είναι εκθετικά γρήγορη. Γράφοντας τη διαφορά f^n(x)-f^m(x) σαν ένα τηλεσκοπικό άθροισμα και χρησιμοποιώντας την τριγωνική ανισότητα μπορεί κανείς εύκολα να δει ότι
    \displaystyle |f^n(x)-f^m(x)|<A c^m για κάθε n\ge m,
    και παιρνώντας το όριο καθώς n\to\infty έχουμε |f^m(x)-x_{*}|\le Ac^m,
    όπου το x_* είναι το μοναδικό σταθερό σημείο.

    Βέβαια, αν θέλουμε να είμαστε απόλυτα ακριβείς όταν χρησιμοποιούμε μηχανές για να κάνουμε υπολογισμούς τα πράγματα δεν είναι ακριβώς έτσι. Το κομπιουτεράκι, όπως και κάθε υπολογιστής, μπορεί να αναπαραστήσει μόνο πεπερασμένου πλήθους αριθμούς, οι οποίοι ονομάζονται αριθμοί της μηχανής . Όταν καλούμε το συνημίτονο ενός αριθμού αυτό που παίρνουμε είναι ένας απ’ αυτούς τους αριθμούς της μηχανής που είναι εν γένει προσέγγιση του πραγματικού συνημιτόνου του αριθμού. Ο αριθμός που εμφανίζεται σταθερά στην οθόνη μετά από μερικά πατήματα του “cos” είναι ένας αριθμός της μηχανής με την ιδιότητα το συνημίτονό του όπως το αναπαριστά η μηχανή να είναι ο ίδιος ο αριθμός. Ακόμη κι αν μια συνάρτηση f είναι θεωρητικά συστολή για τη μηχανή μπορεί να έχει πολλά σταθερά σημεία!

    Θεωρήστε για παράδειγμα τη συνάρτηση
    f(x)=(1-\epsilon) x+\epsilon\cos(x) με \epsilon=10^{-20}
    που είναι και αυτή συστολική απεικόνιση και έχει μοναδικό σταθερό σημείο το x_*. Για το κομπιουτεράκι μου f(1)=1!

    Comment από Michalis Loulakis — Απριλίου 29, 2009 @ 1:26 μμ


Κανάλι RSS για τα σχόλια του άρθρου. TrackBack URI

Γράψτε ένα σχόλιο

Για να σχολιάσετε πρέπει να συνδεθείτε.

Blog στο WordPress.com.