Διαταραχή τάξης 1

Θεωρούμε δύο διανύσματα και τον πίνακα με . Ποια είναι η ορίζουσα του  Για εκείνες τις τιμές του που ο είναι αντιστρέψιμος, ποιός είναι ο αντίστροφός του ; 

Υπουργικό συμβούλιο

Ένας νεοεκλεγείς πρόεδρος σε μια μεγάλη χώρα με πληθυσμό από λευκούς και έγχρωμους (=όλοι οι μη λευκοί) θέλει να ορίσει το υπουργικό του συμβούλιο. Θέλει να χρησιμοποιήσει αυτή του την πράξη ώστε, μεταξύ άλλων, να προωθήσει τη συνεργασία λευκών και έγχρωμων στη χώρα του. Γι’ αυτό θεσπίζει τον εξής κανόνα:

κάθε λευκό μέλος του υπουργικού συμβουλίου θα πρέπει να έχει τουλάχιστον τόσους έγχρωμους συνεργάτες όσους και λευκούς και, ομοίως, κάθε έγχρωμο μέλος θα πρέπει να έχει τουλάχιστον τόσους λευκούς συνεργάτες όσους και έγχρωμους.

Οι θέσεις του υπουργικού συμβουλίου είναι δεδομένες όπως και το ποιος συνεργάζεται με ποιον (π.χ. ο υπουργός Οικονομικών συνεργάζεται με όλους, ο υπουργός Άμυνας δε συνεργάζεται με τον υπουργό Γεωργίας, κλπ).

Ο ίδιος ο πρόεδρος είναι κι αυτός μέλος του υπουργικού συμβουλίου και είναι έγχρωμος.

Δείξτε ότι μπορεί πάντα να επιλέξει υπουργούς του κατάλληλου χρώματος ώστε να πετύχει το σκοπό του αυτό.

Ένα παλιό

Είμαστε στο 1960.

Ένας ηλεκτρολόγος επιθεωρεί ένα παλιό σπίτι και βρίσκεται στο υπόγειό του όπου υπάρχουν 3 διακόπτες, στη θέση off. Ακριβώς ένας από αυτούς ανοιγοκλείνει μια λάμπα στον 1ο όροφο (οι άλλοι δύο διακόπτες είναι νεκροί) και πρέπει να βρει ποιος διακόπτης είναι αυτός.

Επιτρέπεται να ανέβει στον 1ο όροφο μόνο μια φορά. Δεν έχει καθόλου εργαλεία ή όργανα και δε βλέπει το φως του 1ου από το υπόγειο. Πώς θα το κάνει;

Ισόπλευρα τρίγωνα

Δείξτε ότι δεν υπάρχει ισόπλευρο τρίγωνο στο επίπεδο του οποίου οι κορυφές έχουν ακέραιες συντεταγμένες.

Ανασχηματισμός και οικονομία

Μετά από ένα πρόσφατο ανασχηματισμό της κυβέρνησης ο νέος υπουργός Οικονομίας είναι αποφασισμένος να πατάξει τη γραφειοκρατία και να απλοποιήσει όσο μπορεί τη φορολογική νομοθεσία. Η πρώτη ιδέα που του έρχεται στο μυαλό είναι να επιτρέψει σε κάθε επιχείρηση να στρογγυλεύει τα διάφορα ποσά που καταγράφει στα έξοδά της στο επίπεδο του 1 ευρώ.

Τρίγωνα και χρώματα

Θεωρούμε ένα τρίγωνο ΑΒΓ και διαιρούμε την επιφάνεια του τριγώνου σε μικρότερα τρίγωνα έτσι ώστε αυτά να έχουν είτε μια κοινή πλευρά, είτε μια κοινή κορυφή είτε κανένα κοινό σημείο, όπως π.χ. στο σχήμα.

Βάφουμε τις κορυφές των τριγώνων που προκύπτουν ως εξής: οι κορυφές που βρίσκονται επί της ΑΒ βάφονται κίτρινες ή μπλε, οι κορυφές επί της ΒΓ βάφονται μπλε ή κόκκινες, και εκείνες επί της ΑΓ βάφονται κίτρινες ή κόκκινες. Οι υπόλοιπες κορυφές βάφονται με οποιοδήποτε από τα τρία χρώματα.

Δείξτε ότι ένα τουλάχιστον από τα μικρά τρίγωνα έχει κορυφές βαμμένες με διαφορετικά χρώματα.