Προβλήματα Μαθηματικών

Σεπτεμβρίου 29, 2008

Τριγωνομετρία

Κατηγορίες: Άλυτα Προβλήματα — Michalis Loulakis @ 11:00 μμ

Δείξτε ότι αν η γωνία \theta είναι ρητό πολλαπλάσιο του 2\pi τότε οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της (\sin\theta, \cos\theta, \tan\theta) είναι αλγεβρικοί αριθμοί (είναι δηλαδή ρίζες πολυωνύμων με ακέραιους συντελεστές.) Ποιό είναι το ημίτονο των 18 μοιρών;

Σεπτεμβρίου 18, 2008

Υποομάδες των πραγματικών

Κατηγορίες: Λυμένα Προβλήματα — Michalis Loulakis @ 11:50 πμ

Δείξτε ότι αν η G είναι μια προσθετική υποομάδα του \mathbb{R} τότε είτε
G=\alpha\mathbb{Z} για κάποιο \alpha\in\mathbb{R} είτε η G είναι πυκνή στον \mathbb{R} (με τη συνήθη τοπολογία.)

Χρησιμοποιήστε στη συνέχεια αυτό το αποτέλεσμα για να δείξετε ότι αν \frac{\omega}{2\pi}\notin\mathbb{Q} τότε το σύνολο

G=\{m\omega+2n\pi:\ m,n\in\mathbb{Z}\}

είναι πυκνό στον \mathbb{R}. Αυτό το συμπέρασμα ίσως σας βοηθήσει να λύσετε και το πρόβλημα “Στεφάνια“.

Σεπτεμβρίου 17, 2008

Ποσοδείκτες

Κατηγορίες: Λυμένα Προβλήματα, Με επιπλέον ερωτήματα, Με υπόδειξη — Themis Mitsis @ 2:15 πμ

Αν σε μια πρόταση εναλλάξετε τις θέσεις δυο ποσοδεικτών, τότε συνήθως το νόημα αλλάζει δραματικά. Για παράδειγμα, αν σε κάποιο διαγώνισμα τον ορισμό της συγκλίνουσας ακολουθίας τον ξεκινήσετε ως εξής:

“Υπάρχει n_0\in\mathbb N τέτοιο ώστε για κάθε \varepsilon>0 μπλα μπλα μπλα”

τότε το πιο πιθανό είναι ότι θα εξασφαλίσετε την συμμετοχή σας στην επόμενη εξεταστική. Επίσης, οι προτάσεις

“Για κάθε γυναίκα υπάρχει άντρας έτσι ώστε μπλα μπλα μπλα”

και

“Υπάρχει άντρας έτσι ώστε για κάθε γυναίκα μπλα μπλα μπλα”

είναι μάλλον διαφορετικές, εκτός κι’ αν μιλάμε για τον Brad Pitt. Παρ’ όλα αυτά, βρείτε 4 συντακτικά σωστές μαθηματικές προτάσεις (μπλα μπλα)-1, (μπλα μπλα)-2, (μπλα μπλα)-3 και (μπλα μπλα)-4 έτσι ώστε οι παρακάτω δυο συνεπαγωγές να είναι αληθείς:

“Αν υπάρχει (μπλα μπλα)-1 έτσι ώστε για κάθε (μπλα μπλα)-2 να ισχύει (μπλα μπλα)-3, τότε (μπλα μπλα)-4″

και

“Αν για κάθε (μπλα μπλα)-2 υπάρχει (μπλα μπλα)-1 έτσι ώστε να ισχύει (μπλα μπλα)-3, τότε (μπλα μπλα)-4″

Σεπτεμβρίου 16, 2008

Άπειρη στο σύνορο

Κατηγορίες: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 10:52 μμ

Για να λύσετε αυτήν την άσκηση πρέπει να ξέρετε κάποια Μιγαδική Ανάλυση (σε προπτυχιακό επίπεδο).

Στον Απειροστικό Λογισμό, η διαφορίσιμη διανυσματική συνάρτηση δυο μεταβλητών

\displaystyle f(x,y)=\left(\frac1{1-x^2-y^2},0\right)

με πεδίο ορισμού τον ανοιχτό μοναδιαίο δίσκο, έχει την ιδιότητα ότι καθώς το σημείο (x,y) πλησιάζει, με οποιονδήποτε τρόπο, το σύνορο του δίσκου, το μέτρο του f(x,y) πάει στο άπειρο. Ισχύει κάτι ανάλογο στην Μιγαδική Ανάλυση; Δηλαδή, αν

\mathbb D=\{z\in\mathbb C:|z|<1\},

είναι αλήθεια ότι υπάρχει αναλυτική συνάρτηση f:\mathbb D\to\mathbb C τέτοια ώστε

\displaystyle \lim_{|z|\to1}|f(z)|=\infty ;

Το \lim παραπάνω σημαίνει ότι για κάθε ακολουθία z_n\in\mathbb D με |z_n|\to1, έχουμε

|f(z_n)|\to\infty.

Σεπτεμβρίου 13, 2008

2008 ρίζες

Κατηγορίες: Λυμένα Προβλήματα — Michalis Loulakis @ 2:35 μμ

Υπάρχει συνάρτηση f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} δύο φορές παραγωγίσιμη που ικανοποιεί την εξίσωση

\displaystyle f^{''}(x)=g(x)f^{'}(x)+f(x),\ \forall x\in\mathbb{R}

για κάποια συνάρτηση g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, και μηδενίζεται σε ακριβώς 2008 σημεία;

Σεπτεμβρίου 8, 2008

Πρώτη δύναμη

Κατηγορίες: Λυμένα Προβλήματα, Με υπόδειξη — Mihalis Kolountzakis @ 10:51 μμ

Δείξτε ότι για κάθε φυσικό αριθμό n υπάρχουν n διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί κανείς από τους οποίους δεν είναι δύναμη πρώτου αριθμού.

Σεπτεμβρίου 3, 2008

Πώς θα απελευθερωθούν;

Κατηγορίες: Λυμένα Προβλήματα, Με υπόδειξη — Mihalis Kolountzakis @ 11:03 μμ

Ένας διεθυντής φυλακής έχει 100 φυλακισμένους και θα παίξει μαζί τους το εξής παιχνίδι: Θα τους βάλει στη σειρά, τον ένα πίσω από τον άλλο, και θα φορέσει σε καθένα από ένα πράσινο, κόκκινο ή μπλέ καπέλο. Κατόπιν θα τους ρωτήσει έναν-έναν, αρχίζοντας από τον τελευταίο, τι χρώμα καπέλο φορούν. Όποιος βρίσκει τι χρώμα καπέλο φοράει θα απελευθερώνεται, αλλιώς όχι.

Δείξτε ότι οι φυλακισμένοι μπορούν να συνεννοηθούν και να απαντήσουν με τέτοιο τρόπο ώστε να απελευθερωθούν τουλάχιστον οι 99 από αυτούς.

Η συνεννόηση πρέπει να γίνει πριν μπουν στη γραμμή και τους φορέσει τα καπέλα. Μετά απαγορεύεται η επικοινωνία μεταξύ τους, πέρα από το ότι ακούν όλοι τι απάντηση δίνει ο κάθε άλλος στην ερώτηση “Τι χρώμα καπέλο φοράς;”.

Διευκρινίζεται ότι ο τελευταίος της γραμμής (ο Νο 100), ο οποίος απαντάει πρώτος, βλέπει τα καπέλα όλων των άλλων, ο Νο 99 βλέπει τα καπέλα των Νο 98 έως Νο 1, κλπ. Ο Νο 1 (ο πρώτος στη γραμμή) δε βλέπει τίποτα (και απαντάει τελευταίος).

Το πρόβλημα αυτό το έμαθα από τον Παναγιώτη Παπάζογλου.

Σεπτεμβρίου 2, 2008

Όριο ακολουθιών και όριο συνάρτησης

Κατηγορίες: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 12:08 μμ

Το πρόβλημα αυτό το έμαθα από τον Γιάννη Κωνσταντούλα.

Έστω f:\mathbb R\to\mathbb R συνεχής. Υποθέτουμε ότι για κάθε a>0, η ακολουθία (f(an))_{n\in\mathbb N} τείνει στο μηδέν καθώς n\to\infty. Δείξτε ότι

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0.

Blog στο WordPress.com.