Προβλήματα Μαθηματικών

Αυγούστου 31, 2008

Παράγωγος και ολοκλήρωμα

Κατηγορίες: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 5:11 μμ

Έστω f:[0,1]\to\mathbb R μια άπειρες φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση, τέτοια ώστε

f(0)=f'(0)=f''(0)=\cdots=f^{(n)}(0)=\cdots=0.

Δείξτε ότι:

\displaystyle\int_0^1|f(x)|^2\, dx\leq\frac1{2^n}\int_0^1|f^{(n)}(x)|^2\,dx,

για κάθε n\in\mathbb N.

Αυγούστου 29, 2008

Το ένα είναι περιττό

Κατηγορίες: Λυμένα Προβλήματα — Michalis Loulakis @ 4:16 μμ

Δείξτε ότι αν μπορούμε να καλύψουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο Τ με πέντε ισόπλευρα τρίγωνα πλευράς b, τότε μπορούμε να το καλύψουμε και με τέσσερα ισόπλευρα τρίγωνα πλευράς b.

Αυγούστου 23, 2008

ΕΡΕΥΝΑ: “Έχετε απατήσει τη/ο σύντροφό σας αυτό το καλοκαίρι;”

Κατηγορίες: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 11:07 πμ

Το καλοκαίρι έχει σχεδόν τελειώσει για τον πολύ κόσμο κι εσάς σας έχει μόλις προσλάβει μια σοβαρή εταιρεία δημοσκοπήσεων. Ένας μεγάλος πελάτης αυτής της εταιρείας ενδιαφέρεται να εκτιμήσει το ποσοστό του κόσμου που έχει απατήσει το/η σύντροφό του το καλοκαίρι που μας πέρασε.

(περισσότερα…)

Αυγούστου 10, 2008

Σταθερά ολοκληρώματα

Κατηγορίες: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 11:05 μμ

Έστω f:[0,1]\to\mathbb R μια συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε

\displaystyle\int_0^1|f|^n=1

για κάθε n\in\mathbb N. Τί μπορείτε να πείτε για την f;

Θετική συσχέτιση

Κατηγορίες: Λυμένα Προβλήματα — Michalis Loulakis @ 6:36 πμ

Ένα προβληματάκι για όσους δεν κάνουν διακοπές….

Έστω X μια τυχαία μεταβλητή με τιμές στο \mathbb{R} και f,g δύο αύξουσες συναρτήσεις. Δείξτε ότι

\displaystyle E\big[f(X)g(X)\big]\ge E\big[f(X)\big]E\big[g(X)\big].

Υποθέστε ότι οι αναμενόμενες τιμές που εμφανίζονται είναι πεπερασμένες.

Blog στο WordPress.com.